[理学]第9章 分支限界法.ppt

9.2.2 多段图的最短路径问题 设图G=(V, E)是一个带权有向连通图，如果把顶点集合V划分成k个互不相交的子集Vi（2≤k≤n, 1≤i≤k），使得E中的任何一条边(u, v)，必有u∈Vi，v∈Vi+m（1≤i＜k, 1＜i+m≤k），则称图G为多段图，称s∈V1为源点，t∈Vk为终点。 1 2 0 3 4 5 6 7 8 9 4 9 2 3 8 7 6 8 4 7 5 6 8 6 6 5 3 7 多段图的最短路径问题是求从源点到终点的最小代价路径。 对图9.7所示多段图应用贪心法求得近似解为0→2→5→8→9，其路径代价为2+7+6+3=18，这可以作为多段图最短路径问题的上界。把每一段最小的代价相加，可以得到一个非常简单的下界，其路径长度为2+4+5+3=14。于是，得到了目标函数的界[14, 18]。 由于多段图将顶点划分为k个互不相交的子集，所以，多段图划分为k段，一旦某条路径的一些段被确定后，就可以并入这些信息并计算部分解的目标函数值的下界。一般情况下，对于一个正在生成的路径，假设已经确定了i段（1≤i≤k），其路径为(r1, r2, …, ri, ri+1)，此时，该部分解的目标函数值的计算方法即限界函数如下： ? ? + = + ? = + + = + k i j p i E v r i j j j j v r c r r c lb p i 2 1 , 1 1 ]} ][ [ { min ] ][ [ 1 段的最短边 第 ＋ 应用分支限界法求解图9.7所示多段图的最短路径问题，其有哪些信誉好的足球投注网站空间如图9.8所示，具体的有哪些信誉好的足球投注网站过程如下（加黑表示该路径上已经确定的边）： （1）在根结点1，根据限界函数计算目标函数的值为18； （2）在结点2，第1段选择边0, 1，目标函数值为lb=4+8+5+3=20，超出目标函数的界，将结点2丢弃；在结点3，第1段选择边0, 2，目标函数值为lb=2+6+5+3=16，将结点3加入待处理结点表PT中；在结点4，第1段选择边0, 3，目标函数值为lb=3+4+5+3=15，将结点4加入表PT中； （3）在表PT中选取目标函数值极小的结点4优先进行有哪些信誉好的足球投注网站； （4）在结点5，第2段选择边3, 5，目标函数值为lb=3+4+6+3=16，将结点5加入表PT中；在结点6，第2段选择边3, 6，目标函数值为lb=3+7+5+3=18，将结点6加入表PT中； （5）在表PT中选取目标函数值极小的结点3优先进行有哪些信誉好的足球投注网站； （6）在结点7，第2段选择边2, 4，目标函数值为lb=2+6+5+3=16，将结点7加入表PT中；在结点8，第2段选择边2, 5，目标函数值为lb=2+7+6+3=18，将结点8加入表PT中；在结点9，第2段选择边2, 6，目标函数值为lb=2+8+5+3=18，将结点9加入表PT中； （7）在表PT中选取目标函数值极小的结点5优先进行有哪些信誉好的足球投注网站； （8）在结点10，第3段选择边5, 7，可直接确定第4段的边7, 9，目标函数值为lb=3+4+8+7=22，为一个可行解但超出目标函数的界，将其丢弃；在结点11，第3段选择边5, 8，可直接确定第4段的边8, 9，目标函数值为lb=3+4+6+3=16，为一个较好的可行解。由于结点11是叶子结点，并且其目标函数值是表PT中最小的，所以，结点11代表的解即是问题的最优解，有哪些信誉好的足球投注网站过程结束。 6 4 0→1 lb=20 2 3 1 start lb=18 0→2 lb=16 0→3 lb=15 × 图9.8 分支限界法求解多段图的最短路径问题示例 (×表示该结点被丢弃，结点上方的数组表示有哪些信誉好的足球投注网站顺序) 7 2→4 lb=16 8 2→5 lb=18 9 2→6 lb=18 5 3→5 lb=16 3→6 lb=18 11 10 5→7 lb=22 5→8 lb=16 × 为了在有哪些信誉好的足球投注网站过程中构建有哪些信誉好的足球投注网站经过的树结构，设一个表ST，在表PT中取出最小值结点进行扩充时，将最小值结点存储到表ST中，表PT和表ST的数据结构为(第i段，第i段顶点, 第i+1段顶点lb)，在有哪些信誉好的足球投注网站过程中表PT和表ST的状态如下： (b) 扩展结点4后的状态 (d) 扩展结点5后的状态，最优解为0→3→5→8→9 图9.9 多段图的最短路径问题最优解的确定 (1,0,216) (1,0,315) (1,0,216) (2,3,516) (2,3,618) (1,0,315) (2,2,416) (2,2,518) (2,2,618) (2,3,516) (2,3,618)