[理学]第七章 多元函数微积分.doc

第七章 多元函数微积分 学习目的和要求 学习本章，要求读者掌握多元函数及其偏导数的概念、偏导数的求导法则及利用偏导数讨论多元函数的极值、最大值和最小值，学会使用拉格朗日乘数法研究条件极值并应用最小二乘法等讨论经济问题，了解二重积分的数学含义，学会计算一些简单的二重积分． 第一节 多元函数 1．二元函数 设有3个变量 如果当变量 在一定的范围D内任意取定一对值时，变量z按照一定的规律，总有确定的数值和它们对应，则变量z叫做变量 的二元函数．记作 或称为自变量，D称为定义域，z为因变量． 类似地，可以定义三元函数及更多元函数，二元以及二元以上的函数称为多元函数． 2．二元函数的极限 设函数 的某一邻域内有定义， 是该邻域内异于 的任意一点．如果点 以任何方式趋近于 时，函数的对应值 趋近于一个确定的常数A，我们就说 时的二重极限，记作 或 3．二重极限和二次极限 对于二元函数 的极限，可得极限函数 ，这个极限称为二次极限，记为 . 4．有界闭区域上多元连续函数的性质(不作证明) 有最大最小值定理、中间值定理、有界性定理、零点存在定理． 第二节 偏 导 数 1．定义 设函数 的某一邻域内有定义.当 固定在 时，相应地函数有增量 如果极限 存在，则称此极限值为函数 在点 的偏导数，记作 类似地，可定义函数 的偏导数。 2．求导法则 (1)和：设 (2)积：设 则 (3)商：设 3．高阶偏导数 高阶偏导数可定义为相应的低一阶偏导数的偏导数 例如： 第三节 全 微 分 二元函数全微分的定义 若二元函数 的全增量 可表示为 其中 的高阶无穷小量，则称函数 可微，并称 在点(x,y)的全微分. 进一步讨论可知： 故得 关于二元函数，有如下结论：若 及其某一邻域内存在，且在该点连续，则函数在该点可微． 第四节 多元复合函数求导法则、隐函数求导公式 1.??? 设函数 的函数， .若成立条件： (1)在点 处存在编导数 (2) 的相应点可微，则有 2．隐函数求导公式 设函数 的某一邻域内具有连续的偏导数， 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 它满足条件 ,偏导数可由 即 来确定. 第五节 多元函数偏导数的应用 1．多元函数的极值 设函数 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 如果都有 ，则称函数在点( )有极大值 反之，若成立 ，则称函数在点 有极小值 .使函数取得极值的点称为极值点． (1)极值存在的必要条件 设函数 可微分(或存在偏导数 )处有极值，则在该点的偏导数必为零，即 (2)极值存在的充分条件 设函数 的某个邻域内连续且有一阶二阶连续偏导数，又 记 则 ① 处取极值，且当AO时取极大值，AO时取极小值； ② 时无极值； ⑧ 时待定． 2．条件极值、拉格朗日乘数法 在讨论极值问题中，除对自变量给出定义域外，并无其他条件，则称为无条件极值，而若对自变量还附有其他条件的极值问题称为条件极值． 拉格朗日乘数法：要找函数 下的极值可疑点，可以先构造函数 其中λ为某一常数，求 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程 联立起来： 由上述方程组解出 即为极值可疑点． 3．最小二乘法 在经济分析中，我们经常要研究一些经济变量间的相互关系，其中最简单最常见的则为线性关系 我们希望利用一组已有的资料 来寻找这一线性关系，使找到的 能很好地吻合已有数据．记 称为计算误差或残差. 我们希望找到这样的 取到最小值，这种根据残差的平方和为最小的条件来选择常数 的方法叫做最小二乘法． 由极值存在的必要条件，使 必须满足 从而可解得 若记 则又可得下面比较简单的表达式： 4．应用举例 (1)生产函数 考察一个企业的生产能力常常涉及各种因素，但就其根本来说，决定企业内部生产能力的主要因素是劳动力 ，因而可记生产函数为 ． ??? 在经济分析中，有所谓要素报酬递减定律，也就是边际收益会递减．例如我们假定资金保持不变