[理学]第三章 3大数定律与中心极限定律.ppt

例3 一供电网共有 10000 盏功率相同的灯,夜晚每盏灯开着的概率为0.7 ,假设各盏灯开、关彼此独立,求夜晚同时开着的灯数在 6800 到 7200 之间的概率. 例4 某保险公司有 10000 同龄且同阶层的人参加人寿保险,已知该类人在一年内死亡的概率为 0.006，每个参保人在年初交12元保费,被保人死亡时, 其家属可从公司获赔 1000 元,问在该活动中 (1)保险公司亏本的概率是多少？ (2)保险公司获得利润(不计管理费)不少于40000元的概率是多少? 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一： ? 独立同分布的中心极限定理 ? Chebyschev大数定律 —— ? Bernoulli大数定律 —— ? 辛钦大数定律 —— 证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式. 设随机变量X有期望E(X)和方差 ， 则对于任给 0, 切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则 与其数学期望 偏差很小的 概率接近于1. 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1. 即当n充分大时， 差不多不再是 切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述 作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理. 定理2（独立同分布下的大数定律） 设X1,X2, …是独立同分布的随机变量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…, 则对任给 0, 下面给出的贝努里大数定律，是定理2的一种特例. 贝努里 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率， 引入 i=1,2,…,n 则 是事件A发生的频率 第i次试验A发生 第i次试验A不发生 于是有下面的定理： 设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的ε 0， 定理3（贝努里大数定律） 或 贝努里 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率Sn/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小. 贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法. 任给ε0， 下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列X1,X2, …独立同分布，具有有限的数学期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 则对任给ε 0 ， 定理3（辛钦大数定律） 辛钦 算术平均依概率收敛于期望 大数律在理论和实际中都有广泛的应用. 平均结果的稳定性 例如, 如在数理统计中, 就依据这一点而取多次重复观测的算术平均值作为 EX 的较为精确的估计; 设{Xi}是独立同分布的随机变量序列, 则 ?? 0, 标准化随机变量)满足 且 EXi = ?, DXi = ?2 ? 0, n 个独立同分布的随机变量, 不论原来服从什么分布, 当 n 充分大时, 其和 X 的标准化 X * 总可近似地认为是服从标准正态分布. ? De Moivre-Laplas中心极限定理 —— 设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有 当n很大，0p1是一个定值时，二项变量X 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)). Xn 是相互独立的，它们的方差都存在, 且这些方差有共同的上界, 则 Xn 服从大数定律, 即 ※ 同期望方差时, 算术平均值以概率收敛于期望 ? . n 重贝努利试验中事件A 发生的次数为? n, p ( 0 p 1) 是事件A 发生的概率, 则Xn 服从大数定律, 即 Xn 独立且同分布, 期望 EXi =μ有限, 则 任 课 教 师：赵艳桃 办 公 室：主楼515 办公室电话邮 箱 地 址：peachzyt@163.com 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机