[理学]第三章 可逆矩阵第一讲.ppt

* * 线性代数 第三章 可逆矩阵 可逆矩阵求逆是矩阵的一种重要的运算，逆矩阵在矩 阵的理论中占有相当重要的地位.本章主要讨论可逆矩阵 的概念、可逆矩阵的求法和矩阵的秩. 第三章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 教学目的：通过本章的教学使学生理解逆矩阵及矩阵 秩的概念，掌握逆矩阵的性质和求逆、求秩方法.认识逆矩 阵在矩阵理论中的地位与作用，为今后的学习打良好基础. 教学要求：理解逆矩阵和矩阵秩的概念，深刻理解逆矩阵的性质，熟练掌握求逆矩阵的方法，会用逆矩阵解决各种实际问题. 教学重点：逆矩阵的定义和性质，求逆矩阵的方法，解矩阵方程.求矩阵的秩. 教学难点：解矩阵方程，求抽象矩阵的逆.求矩阵的秩. 教学时间：4学时. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复习 1、矩阵的概念和矩阵的初等变换； 2、方阵的行列式； 3、初等方阵. §1 可逆矩阵的定义与性质 定义1.1 设 A 为 n 阶方阵，若存在一个 n 阶方阵 B，使 AB = BA = E, 则称矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵. 1.1可逆矩阵的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 容易验证，初等方阵都是可逆的矩阵，其逆仍是同种 类的初等方阵.即 P(i[k])-1= P(i,j[k])-1= P(i,j[-k]); P(i,j)-1= P(i,j). 可逆矩阵又称非奇异矩阵，不可逆矩阵又称奇异矩阵. 1.2 可逆矩阵的性质 证明 设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则 B = BE = B (AC ) = ( BA ) C = EC = C. 所以A的逆矩阵是唯一的. 性质1 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的. 依据逆矩阵的唯一性，我们把A的逆记之为A-1. 性质3 若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且 性质2 若A可逆，则 亦可逆，且 证明 由定义1.1，性质2显然成立. 证明 由AA-1 = A-1A = E,便有 故知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质5 若 A,B 为同阶的可逆矩阵，则 AB 也可逆，且 证明 由A、B可逆，则有 ( AB )( B-1A-1 ) = A( BB-1 ) A-1 性质4 若A可逆，则 AT 也可逆，且 证明 由于A可逆，则有 AA-1 = A-1A = E 在上式两端取转置，得 ( A-1)T AT = AT ( A-1)T = E. 由定义1.1， AT可逆，且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义1.1，知AB可逆，且 同理可证 ( B-1A-1 ) ( AB ) =E. 若n阶矩阵A1, A2,…, AS都可逆，则它们的乘积A1A2…AS 亦可逆，且 （A1A2…AS)-1= AS-1…A2-1A1-1. 若A可逆，m为正整数时， Am亦可逆，且 (Am)-1= (A-1) m. 若规定A-m= (A-1) m，则上式变成 (Am)-1= A-m. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §2 方阵可逆矩阵的充要条件与逆矩阵计算 定义2.1 设n阶方阵A=(aij)，元素aij在行列式| A|中的代数余子式为Aij(i,j=1,2,…,n),则矩阵 称为方阵A的伴随矩阵. 2.1可逆矩阵的有关定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2.1 设A为n阶方阵，A*是A的伴随矩阵.则 AA*=A*A=|A|E. 证明 由于 . 同理可证A*A=|A|E. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2.2 方阵 A 可逆的充分必要条件是 |A| ≠ 0 ,且