[理学]第三章 线性代数方程组的数.ppt

例3.5 试用克洛特分解法解线性方程组 解 3.3.3 对称正定矩阵的三角分解 定义 3.1 若n 阶方矩阵 A 具有性质 且对任何n 维向量 成立 ，则称 A 为对称正定矩阵。 定理3.4 若A 为对称正定矩阵，则 (1) A的k阶顺序主子式 (2)有且仅有一个单位下三角矩阵L和对角矩阵D 使得 （3-16） 这称为矩阵的乔里斯基（Cholesky）分解。 (3)有且仅有一个下三角矩阵 ，使 （3-17） 这称为分解矩阵的平方根法。 （1）首先由A 对称正定知 且对任何k维非零向量 故 为 k 阶对称正定矩阵，所以 由惟一性得 证 把平方根法应用于解方程组，则把 Ax=b 化为等价方程 相应的求解公式为 把乔里斯基分解法应用于解方程组，则 Ax=b 化为等价方程 相应的求解公式为 j1 jj-1 由此可建立平方根法的递推计算公式如下： 注： 平方根法的递推计算记忆法 例3.8 试用平方根法求解对称线性方程组 解 (1) * 第三章 线性代数方程组的数 值解法 3.1 引言 3.2 解线性方程组的消去法 3.3 解线性方程组的矩阵分解法 3.4 解线性方程组的迭代法 3.1 引言 给定一个线性方程组 求解向量 x。 第一类是直接法。即按求精确 解的方法运算求解。 第二类是迭代法。其思想是首先把线性方程组(3-1)等价变换为如下形式的方程组： 数值解法主要有两大类： 然后构造迭代格式 这称为一阶定常迭代格式，M 称为迭代矩阵。 3.2 解线性方程组的消去法 3.2.1 高斯消去法与高斯若当消去法 例1 第一步：先将方程（1）中未知数 的系数2 除（1）的两 边，得到下列方程组： 解：1、消元过程 矩阵的观点 再将第二个方程减去第一个方程的4倍，第三个方程减去 第一个方程的2倍。 第二步：将方程 中第二个方程的两边除以 的系数4 将第三个方程减去第二个方程： 第三步：为了一致起见，将第三个方程中的 系数变为1， 2、回代过程： 下面我们来讨论一般的解n 阶方程组的高斯消去法，且 就矩阵的形式来介绍这种新的过程： 一、高斯消去法 高斯消去法： （1）消元过程： 对k=1,2, …, n 依次计算 (2) 回代过程： 例3.1 试用高斯消去法求解线性方程组 消元过程为 解 即把原方程组等价约化为 据之回代解得 为了避免回代的计算，我们可在消元过程中直接把系数矩阵A约化为单位矩阵I，从而得到解，即 这一无回代的消去法称为高斯-若当（Jordan）消去法 二、高斯-若当（Jordan）消去法 解 归一消元 归一 消元 归一 消元 例 2 试用高斯-若当消去法求解例3.1的线性方程组。 因为 解 高斯-若当（Jordan）消去法 一般公式： 高斯约当消去法是一个具有消去过程而无回代过程的算法。 以上两种消去法都是沿系数矩阵的主对角线元素 进行的，即第k次消元是用经过前k-1次消元之后的系数阵位于（k,k)位置的元素作除数，这时的(k,k)位置上的元素可能为0或非常小，这就可能引起过程中断或溢出停机。 3.2.2 消去法的可行性和计算工作量 定理 3.1 如果的各阶顺序主子式均不为零，即有 即消去法可行。 推论 若系数矩阵严格对角占优，即有 注意：高斯-若当消去法求解矩阵方程和求矩阵的逆矩阵 例 3.3 试用高斯-若当消去法求解如下矩阵方程 解： 其中X是矩阵 3.2.3 选主元素的消去法 主元素的选取通常采用两种方法： 一种是全主元消去法；另一种是列主元消去法。 下面以例介绍选主元的算法思想 例 3.4 试用选主元消去法解线性方程组 （1）用全主元高斯消去法 回代解出： 还原得： 解 故得解为 （2）用全主元高斯-若当消去法 归一、消元 主元 主元 主元 归一、消元 归一、消元 （3）用列主元高斯消去法 回代解得 3.3 解线性方程组的矩阵分解法 一、 非对称矩阵的三角分解法 矩阵分解法的基本思想是： 可逆下三角矩阵 可逆上三角矩阵 对于给定的线性方程组 （1） 分解 ——解两