[理学]第三章 线性方程组.doc

第三章 线性方程组 本章要点 1．线性方程组的消元法； 2．线性方程组有解的判别定理； 3．维向量的概念及运算； 4．向量间的线性关系，向量组的秩； 5．线性方程组解的结构。 学习目标 1．理解维向量的概念，理解向量的线性组合和线性表示的概念； 2．理解线性相关和线性无关的定义，并了解有关的重要结论；会判断向量组的线性相关或线性无关； 3．理解向量组的极大无关组和向量组的秩等概念；会求向量组的极大无关组和秩； 4．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件以及非齐次线性方程组有解的充分必要条件； 5．理解齐次线性方程组的基础解系、通解等概念以及解的结构； 6．理解非齐次线性方程组的解的结构及通解等概念； 7．熟练掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法。 第一节 消元法 在第一章我们介绍了阶行列式以及应用行列式解线性方程组的克莱姆法则。但是应用克莱姆法则是有条件的，它要求线性方程组中未知量的个数与方程的个数相等，并且要求方程组的系数行列式不等于零。然而，许多线性方程组并不能同时满足这两个条件。因此，必须讨论一般情况下线性方程组的求解方法和解的各种情况。 考虑一般的线性方程组 (3.1) 根据第二章所学知识，线性方程组(3.1)的矩阵形式为 其中 称为（3.1）的系数矩阵。而 ， 可分别称为（3.1）的未知量矩阵和常数项矩阵。 同时，将系数矩阵和常数项矩阵并在一起构成如下矩阵 (3.2) 称为线性方程组(3.1)的增广矩阵。 一、消元法求解线性方程组 在中学代数中，已经学习过用消元法求解简单的线性方程组，这一有效和实用的方法同样可以用于求解一般的线性方程组（3.1）。 消元法的基本思想是通过方程组的同解变形，使各方程中所含未知量的个数依次减少，把方程组化为容易求解的同解方程组，从而达到求解的目的。用消元法求解线性方程组的具体作法就是对方程组反复施行以下三种变换: （1）交换某两个方程的位置； （2）用一个非零的常数乘某一个方程的两边； （3）将一个方程的适当倍数加到另一个方程上去。 以上这三种变换称为线性方程组的初等变换。可以证明：方程组的初等变换将方程组化为同解方程组。 例3.1 解线性方程组 ① 解 将方程组①中第1个方程的（-2）倍、（+1）倍和（-4）倍分别加到第2、3、4个方程上，消去这三个方程中的未知量，得 ② 将方程组②中第2个方程的（+1）倍和（-1）倍分别加到第3和第4个方程上，消去这三个方程中的未知量；这时的第3个方程两边全为零，即为恒等式，交换第3、4个方程，得 ③ 显然，方程组③中的第4个方程为多余方程，去掉该方程；并将方程组③中的第3个方程两边乘以（），得 ④ 从方程组④的第3个方程可得，将依次代入前2个方程（也就是把第3个方程的适当倍数分别加到前两个方程上，消去这两个方程中的），得 ⑤ 将方程组⑤中的第3个方程两边乘以（），得 ⑥ 将方程组⑥中第2个方程的（-1）倍加到第1个方程上，得 ⑦ 显然，方程组①至⑦都是同解方程组，故方程组⑦的解即为原方程组的解。 在上述求解过程中，从①至③称为消元过程，从④到⑦称为回代过程，形如③式的方程组称为阶梯（形）方程组。消元法的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯方程组，而这个阶梯方程组与原线性方程组同解，解这个阶梯方程组即可求得原方程组的解。 观察例3.1的求解过程，不难发现，对方程组进行初等变换的过程，实际上是对各方程的对应系数和常数项进行运算的过程。因此，用方程组①的增广矩阵的初等行变换表示前面的求解过程，有 由最后一个矩阵即得到方程组的解： ，，。 可以看到，方程组(3.1)与其增广矩阵是相互对应的。而对方程组作某种初等变换就相当于对它的增广矩阵做相应的初等行变换，故方程组的三种初等变换对应其增广矩阵的三种初等行变换。换言之，用消元法解方程组(3.1)的过程，就是对进行初等行变换的过程。其中，消元过程就