[理学]第三章 重积分及其应用 第二节 二重积分的计算.ppt

CH1_ 第二节 二重积分的计算 一 利用直角坐标系计算二重积分 二 利用极坐标系计算二重积分 三 二重积分的换元法 一 利用直角坐标系计算二重积分 二 利用极坐标计算二重积分 三 二重积分换元法 第二节 二重积分的计算法 第九章 重积分及其应用 如果区域D为： 函数 其中 在区间 上连续， 区域。 则称D为 型 型区域的特点： 轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点. 穿过区域且平行于 型区域D ： D D 设曲顶柱体的底是 型区域D 顶为连续函数 x z y D 对于任意固定 作与 轴垂直的平面， 相应曲顶柱体所得的截面面积 由于截面为曲边梯形， 所以 无论函数 符号如何， 只要积分区域D为 公式 总成立。 D 先对 后对 的二次积分 积分区域D ： D 对于既不是 型区域， 又不是 型区域， 可以用 几条辅助线将区域分成若 干个 型区域，或 型区 域的并来计算。 如图 先对 后对 的二次积分 例1. 计算 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作 型区域, 则 解法2. 将D看作 区域, 则 例2. 计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 解法2 例3. 计算 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. 型区域 : 例4. 交换下列积分顺序 解: 积分域由两部分组成: 视为 型区域 , 则 解 例6 计算 二重积分 其中 为 解 用 分积分区域 例7 计算 其中D 由 所围成. 解 由于 为奇函数， 积分区间是 所以 说明 如果函数 为 的奇函数 积分区域 关于 轴对称 则 如果函数 为 的偶函数 积分区域 关于 轴对称， 则 其中 例8 计算 其中D 由 所围成. 解: 令 (如图所示) 例9 求由两直交圆柱面 所围立体的体积。 解 第一象限部分立体如图 所示， 设其在 面投影为D 由对称性得 在极坐标 下如何计算 用同心圆 常数， 半直线 常数划分积分 区域 D 取 . . . 极坐标下面积元素 设 则 特别 极坐标下的二次积分 解 例11 计算二重积分 其中 为 解 例12 将二重积分 化为极坐标 下二次积分 1） 是 围成。 解 例12 将二重积分 化为极坐标 下二次积分 2） 解 例13 计算二重积分 其中D为区域 解 由对称性得 例14 计算二重积分 其中 解 例15 计算广义积分 解 设 则 其中 记