[理学]第三章函数逼近和曲线拟合.ppt

并且其系数矩阵为对称阵 所以法方程组的系数矩阵非奇异,即 根据Cramer法则,法方程组有唯一解 即 是 的最小值 所以 因此 作为一种简单的情况, 基函数之间的内积为 平方误差 例1. 回到本节开始的实例，从散点图可以看出 纤维强度和拉伸倍数之间近似与线性关系 故可选取线性函数 为拟合函数，其基函数为 建立法方程组 根据内积公式，可得 法方程组为 解得 平方误差为 拟合曲线与散点 的关系如右图: 例2. 求拟合下列数据的最小二乘解 x=.24 .65 .95 1.24 1.73 2.01 2.23 2.52 2.77 2.99 y=.23 -.26 -1.10 -.45 .27 .10 -.29 .24.56 1 解: 从数据的散点图可以看出 因此假设拟合函数与基函数分别为 6.7941 -5.3475 63.2589 -5.3475 5.1084 -49.0086 63.2589 -49.0086 1002.5 1.6163 -2.3827 26.7728 通过计算,得法方程组的系数矩阵及常数项矩阵为 Go! 用Gauss列主元消去法,得 -1.0410 -1.2613 0.030735 拟合的平方误差为 图象如图 例3. 在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的 数据如下，试建立y关于t的经验公式 x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00, 10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60 解: 具有图示的图形的曲线很多，本题特提供两种形式 例： x y (xi , yi) , i = 1, 2, …, m 方案一：设 b ax x x P y + = ? ) ( 求 a 和 b 使得 最小。 ? = - + = m i i i i y b ax x b a 1 2 ) ( ) , ( j But hey, the system of equations for a and b is nonlinear ! Take it easy! We just have to linearize it … 线性化 /* linearization */：令 ，则 bX a Y + ? 就是个线性问题 将 化为 后易解 a 和b。 ) , ( i i Y X ) , ( i i y x 方案二：设 x b e a x P y / ) ( - = ? ( a 0, b 0 ) 线性化：由 可做变换 x b a y - ? ln ln b B a A x X y Y - = = = = , ln , 1 , ln BX A Y + ? 就是个线性问题 将 化为 后易解 A 和B ) , ( i i Y X ) , ( i i y x 两边取对数,得 得 即为拟合函数 基函数为 解法方程组得 平方误差为 用最小二乘法得 即 无论从图形还是从平方误差考虑 在本例中指数函数拟合比双曲线拟合要好 平方误差为 定义 权函数： ① 离散型 /*discrete type */ 根据一系列离散点 拟合时，在每一误差前乘一正数wi ，即 误差函数? ，这个wi 就称作权/* weight*/，反映该点的重要程度。 ? = - = n i i i i y x P w 1 2 ] ) ( [ ② 连续型 /*continuous type */ 在[a, b]上用广义多项式 P(x) 拟合连续函数 f(x) 时，定义权函数 ?(x) ?C[a, b]，即误差函数? = 。 权函数?(x)必须满足：非负、可积，且在[a, b]的任何子区间上?(x) ? 0。 加权最小二乘法 各点的重要性可能是不一样的 重度: 即权重或者密度，统称为权系数 定义加权 平方误差为 (9) 使得 由多元函数取极值的必要条件 得 即 引入记号 定义加权内积 (10) 矩阵形式(法方程组)为 方程组(10)式化为 (11) (12) 平方误差为 作为特殊情形,用多项式作拟合函数