[理学]第三节 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数.ppt

第三节 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数 一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数 例： 四、相关变化率 思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一物体以 例2. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 练习： 设时刻t液面高度h=h(t), 圆柱形桶高H=H(t)。 五、小结 * 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 定义：若由方程 F(x,y)=0 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此函数为隐函数. 由 y=f (x) 表示的函数称为显函数. 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (把 y看成是x 的函数) （得到一个含导数 y? 的方程) 例1 解 解得 例2 解 解得 注意： 隐函数的导数的表达式中一般同时含有变量 x 和 y . 例3 解 所求切线方程为 显然通过原点. 例4 解 观察函数 对数求导法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. 适用范围: 有些函数用对数求导法求导很方便 . 例1 解 等式两边取对数得 例2 解 等式两边取对数得 对幂指函数 求导也可用对数求导法. 解 例3 等式两边取对数得 例4 解 等式两边取对数得 例如 消去参数 t 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 由复合函数及反函数的求导法则得 例1 解 例2 解 故所求切线方程为 解： 方程组两边同时对 t 求导, 得 , 求 设 例3 解 相关变化率问题: 研究两个变化率之间的关系，以便已知其中一个变化率时求出另一个变化率 . 相关变化率 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 解 仰角增加率 例1 100 m／s 的速率朝气球出发点前进, 当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ? 提示: 对 t 求导 已知 求 试求当容器内水 今以 自顶部向容器内注水 , 位等于锥高的一半时水面上升的速度. 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 上式两边对 t 求导，得 而 故 体积为 V , 则 设溶液自深18cm，顶直径12cm的圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其液面下降的速率为1cm/min，问此时圆柱形桶中液面上升的速率为多少 ? 例3 解 水面上升之速率 4000m 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导； 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导； 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则； 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解. * *