[理学]第二十一章 1 二重积分.ppt

一、问题的提出 四、小结 特征：垂直y轴的直线与边界曲线只有两个交点. 特征：垂直x,y轴的直线与边界曲线都只有两个交点. y=x 定限方法：1. 先固定 x (x=常数)，即垂直x轴的直线与D的交点为y的上、下限； 2. D 在 x 轴的投影区间为 x 的上、下限. ——先y后x 若区域如图， 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割. 注意问题是: 根据积分区域和被积函数的特点 选择积分次序。 二重积分计算的实质是： 二重积分化为二次积分即两个定积分。 解 积分区域如图 解 积分区域如图 解 0 y x D: x + y =1 , x – y = 1，x = 0 所围 1 1 –1 先对 y 积分 . y =1– x y = x –1 . 8. 将二重积分化成二次积分 0 y x D: x + y =1 , x – y = 1，x = 0 所围 1 1 –1 先对 y 积分 . 先对 x 积分 D1 D2 . x =1– y x = y +1 （不分块儿行吗？） 8. 将二重积分化成二次积分 . D: 由四条直线 : x=3，x=5, 3x – 2y+4 = 0, 3x –2y+1 = 0 共同围成的区域 o x y 3 5 5 8 3x – 2y+4 = 0 3x – 2y+1 = 0 D . D1 D2 D3 先对y积分 先对x积分 . . （需分块） . . （需分块） 9. 将二重积分化成二次积分 D: . . 0 y x 1 1 y = x y = x2 . 10. 将二重积分换序 D: . . 0 y x a a . . . . x = y 11. 将二重积分换序 一 先对x积分 y x o a b D y x o a b D y x o a b D . . . . 12. (练习)将二重积分化成二次积分 二 先对 y 积分 y x o a b y x o a b y x o a b D D D . . . . 12. (练习)将二重积分化成二次积分 . * 第一节 二重积分的概念与性质 一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结 思考题 柱体体积 = 底面积 × 高 特点：平顶. 柱体体积 = ？ 特点：曲顶. １．曲顶柱体的体积 曲顶柱体 求曲顶柱体体积的方法： 分割、取近似、 求和、取极限。 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 ------ 被积表达式 面积元素 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 D 则面积元素为 性质１ 性质２ 对区域 具有可加性 性质３ 为D的面积， 性质４ 若在D上 则有 性质５ （二重积分 估值不等式） 性质６ （二重积分 中值定理） M? m? 性质7 (平均值) 性质６ （二重积分 中值定理） 在 D 上的平均值. 称为连续函数 解 解 解 解: 表示以原点O为圆心, 半径为R的上半球面. 上半球体的体积 R R y z x R o 【练习】 被积函数相同, 且非负, 【解】 由它们的积分域范围可知 1. 比较下列积分值的大小关系: 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 的大小顺序为 ( ) 【提示】因 0 y 1, 故 故在D上有 【例6】设函数 D 位于x 轴上方的部分为D1 ,在D上 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有 在闭区域D上连续, D关于 x 轴对称, 则 则 奇偶性时,仍有类似结果. 在第一象限部分, 则有 【说明】将该结论熟记，对以后计算带来很大方便.（要兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性） 【例如】 二重积分的定义 二重积分的性质 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） （积分和式的极限） 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出 它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式 的极限值，且此值只与被积函数及 积分区域有关． 不同的是: 定积分的积分区域为区间，被积函 数为定义在区间上的一元函数; 二重积分的积分区域为平面区域， 被积函数为定义在平面区域上的二 元函数． 思考题解答 一、利用直角坐标计算二重积分 三、课堂练习 第二节 二重积分的计算法 二、利用极坐标计算二重积分 计算二重积分需对平面区域有所了解 【平面区域的表示法】 定积分的积分范围是闭区间，积分区间可用 不等式或区间