[理学]第二章 光的标量衍射理论.ppt

§2.4 透镜的傅里叶变换性质 2.2 衍射规律的频域表达式 2.2.1 衍射规律的频域描述 设有一单色光波z轴方向投 射到衍射屏上，衍射屏后表 面上的场用Ψ(x,y, 0)表示， 观察屏上P0点的场记为 Φ(x,y, z)。 设A0(u,υ)和Bz(u,υ)分别代表Ψ(x,y, 0)和Φ(x,y, z)的频谱函数 . 根据傅里叶变换定义，有： 上式把U(x,y, z)分解成各种空间频率(u，υ)的指数基元 的集合，每个基元的权重密度为Gz(u,υ)。 称函数Gz(u,υ)=F{ U(x,y, z)}为U(x,y, z)的角谱,G0(u,υ) 为U(x,y, 0)的角谱。 式（2-2-1）代入（2-1-2）并改变积分与微分的顺序， 有: 得到 : 其特征根r为： （2-2-2） （2-2-1） 该式取“+”号得到方程(2-2-2)的一个基本解 ： 上式表现频谱函数Gz(u,υ)与G0(u,υ)之间的联系，是 衍射规律的频域表达式。 （2-2-3） 平面波角谱理论的基本思想： ①对复振幅ψ(x，y)作傅里叶变换，将其分解为一系列沿不同方向传播的三维简谐平面波. ψ(x，y)的空间频谱A(μ，ν)正是空间频率为(μ，ν)的平面波成分的复振幅密度。 平面波在自由空间传播过程中，不改变其波面形状，唯一的变化是产生一个与传播距离有关的相移。根据z=0平面的频谱A(μ，ν)，就可以求出在距离z处(x，y；z)平面上的频谱分布B(μ，ν)。 最后一步，通过对 B(μ，ν)的傅里叶逆变换，即将传播到∏平面上、经历了不同位相延迟的所有平面波相叠加，就可以综合出∏平面上衍射图形的复振幅分布φ(x，y)。 应用平面波角谱理论解决衍射问题的关键： 根据z＝0平面的频谱A(μ，ν)，求出观察面∏上的频谱B(μ，ν)。 §2.5.1 角谱的传播 一、角谱的概念 单色光场沿z方向传播→xy平面，xy平面上的光场复振幅分布函数：ψ（x，y） 设ψ（x，y）的空间频谱为A(μ,ν)，则有 上式中 代表一个沿 ， 所确定方向传播的单位振幅平面波，A(μ,ν)表示复振幅波 ψ（x，y）中空间频率为(μ,ν)的复振幅密度（频谱）。 （2.49） 设该平面波波矢的方向余弦为（cosα，cosβ，cosγ） 且 用波矢方向余弦表示的空间频谱 ，称为xy平面上 复振幅波ψ（x，y）的角谱。 二、角谱的传播 （2.50） （2.51） （2.52） （2.52） Z=0的平面： 在Z平面 利用公式（2.51） z平面的角谱可以表示为 角谱的传播规律 ：角谱由孔径平面传播到距离为z的观察平面时，要经历一个相移 。 （2.55）式就是用角谱描述的衍射公式 ，是衍射公式在频率域中的描述，是角谱理论的重要结果。 式（2.55）和（2.56）就是应用平面角谱理论求解衍射问题的基本公式。 （2.54） （2.55） （2.56） 平面波角谱理论的实质：傅里叶分解和综合的过程。 ①将输入函数ψ（x，y）分解为一系列简谐平面波； ②将传播过程中经历了不同相位延迟的平面波成分相加； ③综合出输出面上衍射的复振幅。 （2.55）式的物理意义： 1） 此时（2.55）式才真正对应于空间某一确定方向传播的平面波。 平面波在空间传播既不改变方向，也不改变振幅，只改变了不同平面上复振幅的相对位移。 （2.55） 2） 令 与这些角谱分量相对应的平面波分量称为隐失波（倏逝波）。 3） 该平面波分量的传播方向垂直于z轴 ，即沿z方向没有能量传播 对于 随z的增大迅速衰减的倏逝波，只存在于很接近于xy平面的一个薄层内。 三、角谱的衍射 （2.57） 令 有 和 若把光波在自由空间传播的过程看做是一个线性不变系统， ψ（x，y）和φ(x，y)看做是系统的“输入”和“输出”，那么H就是该系统的传递函数。 （2.58） （2.59） （2.60） 在所讨论的问题中，传播距离总是至少大于几个照明光波长，已可以认为倏逝波已衰减到近于零 空间频率满足 时， 其模为1，但引入了与频率有关的相移，而在其它情况为零。 传递函数H相当于一个低通滤波器。 在频谱平面上，这个滤波器是半径为1/λ的圆孔，截止频率为1/λ。 在波长为λ的光波照明下，孔径中比波长小的精细结构，或说空间频率大于1/λ的高频信息是不能被携带到衍射场中去的。 （2.61） §2.5.2