[理学]第二章 谓词逻辑.ppt

关于特性谓词的说明 M(x):x是人 B(x):x勇敢 D(x):x是要死的 ?x (M(x)∧B(x))（有人勇敢) ?x(M(x)→D(x))（所有人都是要死的） 对全总个体域而言，“有人勇敢”即“有个体不仅是人而且勇敢”，M(x)与B(x)合取是当然的； 而“所有的人都是要死的”则是指“全总域中是人的那部分个体都是要死的”，即“是人则要死”因而M(x)与D(x)是条件关系。 ?x (M(x)∧B(x))（有人勇敢)?x(M(x)→D(x))（所有人都是要死的） 相反，如果我们用?x (M(x)→B(x))表示“有人勇敢”，用?x(M(x)∧D(x))表示“所有人都是要死的”，那么它们与原语句的意义就完全不同了。“有人勇敢”一句原本对于无人的个体域是假的，但?x (M(x)→B(x))对无人的个体域却为真，因为一个非人的个体x0总使M(x0)假。从而M(x0)→B(x0)为真。 更荒唐的是，?x(M(x)∧D(x))的意义是，宇宙万物不仅都是人而且都要死，与“所有人都是要死的”毫无共同之处。 例5 所有运动员都钦佩一些教练员。 设：S（x）：x是运动员； J（x）：x是教练员； L（x,y）：x钦佩y。 谓词符号化为： (?x)(S(x)→(?y)(J(y)∧L(x,y))) 例6 设个体域是人类， 每个人都有人爱，但没有人为所有人爱。 用L(x,y)表示“x爱y” 它可译为 ?x ?yL(y,x) ∧┐?y ?x L(x,y) 例7 每人都有自己喜欢的水果，有人喜欢所有的水果。 F(x)：x是水果 M(x):x是人 L(x,y):x喜欢y ?x(M(x)→?y (F(y)∧L(x,y)))∧?x(M(x)∧?y(F(y)→L(x,y))) 公式?x(P(x,y)?Q(x,z))?R(x)从左向右算起，变项x的第一，第二次出现是约束的，第三次出现是自由的；变项y，z的出现是自由的. 公式?x(F(x,y,z)??yG(x,y))从左向右算起，变项y的第一出现是自由的，第二次出现是约束的；变项x的出现都是约束的. 约束变元与自由变元的差别较大，我们用如下的例子作直观说明。设E代表二元谓词“… = …”，c代表一个常量，考虑公式?x1E(x1,c)与 ?x2E(x1,c)。 ?x1E(x1,c)中的x1是约束变元，意思是不论x1代表什么个体，此个体都与c相同。即个体域中只能有一个元素c；如将 ?x1E(x1,c)中的x1都换成x2，得到的公式 ?x2E(x2,c)与 ?x1E(x1,c)具有相同的含义，代表了相同的判断，就是说， ?x1E(x1,c)代表的判断与x1无关，只与个体域有关，若个体域中只有唯一的一个个体，则此判断正确，否则此判断错误。 但 ?x2E(x1,c)中的x1是自由变元，此公式的意思是说：不论x2代表什么样的个体，x1代表的个体与c相同，从而这个公式代表的判断与自由变元x1代表的个体有关（与约束变元x2无关）。 ?xP(x) 上述变元是用x还是别的变元是无关紧要的，因为变元的更改并不改变语句的含义。因此，我们说量词的指导变元和对应的谓词命名式中变元是可以改名(rename)的。 上述变元与通常谓词公式中个体变元不同，因为它不能像后者那样取值代入，例如 ?5P(5) 是毫无意义的。因此，我们把 ?xP(x) 和 ?xP(x) 中变元称为约束变元（bound variables），而那些可以取值代入的变元则称为自由变元（free variables）。 综合可知，约束变元是形式记号的一部分，对它可以改名但不能代入。其实数学中常常使用这种约束变元作为数学符号的一部分。例如?求和。 对于?x(P(x,y)?Q(x,z))?G(x) ，可换名为 ?u(P(u,y)?Q(u,z))?G(x) 但下面的改名都是不对的 ?u(P(u,y)?Q(x,z))?G(x) ?x(P(u,y)?Q(u,z))?G(x) ?u(P(x,y)?Q(x,z))?G(x) ?y(P(y,y)?Q(y,z))?G(x) 　　?u(P(u,y)?Q(u,z))?G(u) 对于?xH(x,y)??yG(y)→L(y,z) ，可代替为 ?xH(x,u)??yG(y)→L(u,z) 但下面的代替都是不对的 ?xH(x,u)??yG(u)→L(u,z) ?xH(x,z)??yG(y) )→L(z,z) ?xH(x,u)??yG(y) )→L(y