[理学]第五章 分析力学3.ppt

同理讨论AB上的质点。 （5）变换方程（只需要3个） （7）求O点处的约束力 令d x ≠ 0 ， dq 、 df 、d y都为0。 ① 牛顿第二定律： 理想约束： 拉格朗日方程（第二类拉氏方程） 适用条件： 完整、理想约束 查看导出Lagrange方程的过程： 有势力的广义力形式： 拉氏方程： 4. 拉格朗日方程与牛顿运动方程等价 取笛卡儿坐标系: 拉氏方程的优越性： ① L＝T－V 为系统量，V为系统势能，不必具体区分受力质点 ② 为标量,vi为速率 ③ 避免了约束力 （3） Lagrange量和初始条件已知，一个力学体系  的运动就完全清楚了。 (1)完整系统动能函数的表达式 注意： 是广义坐标（q，t）的函数。上式第一项，二项，三项分别为广义速度的二次项，一次项，零次项。 若为稳定约束，即 不显含t，则： T2是 的二次齐次函数，可有关系 ※欧勒齐次函数定理 如果函数 ，则这个函数对每一个自变量偏导与函数积之和，等于这个函数乘以多少次幂n。（n为u函数中含有对x，y…求导的最高幂次） 对于稳定约束, 即 刚才证明过, 若仍有 若 显含t, (不稳定约束) 则 第五章 分析力学 故：完整系统中，在稳定的理想约束，定常约束下，系统的机械能守恒。 为守恒量,也称作广义能量积分. 第五章 分析力学 * 例：右图，两个相同的 均匀刚性杆OA=AB=l， 质量都是m， F为外力；运动和外力都在 求平衡位置。 解： （1）理想约束？ O、A光滑，杆刚性。 （2）稳定、完整约束？ 对所有质点，z＝0。 F A O q f B D C mg mg a b 对第a个质点， 由此可见，OA上的质点受到的约束都是稳定、完整的。 O、A为光滑的铰链。 xy平面。 第五章 分析力学 （3）广义坐标 ＝mgd xC + mgd xD + Fd yB ＝ 0。 先q，后f， ∴ s=d=2. （4）虚功 dW A = Fi A d xi ＝ 虽然每一个质点都受到重力， 但其总效果与总重力作用在重心相同 。 所以，求和只需要对C、D、B 3处的进行。 O q f A B D C F mg mg a b 第五章 分析力学 xC ＝(l/2)sinq , xD ＝ lsinq + (l/2) sinf , yB ＝ l ( cosq + cosf) , O q f A B D C F mg mg a b d W A = Qq dq + Qf df . （6）用虚功原理（第二种表述） ∴ 第五章 分析力学 去掉O点的约束， 用2个大小不变的主动力 RX 、RY （与原约束力相等） 作用在体系的O点， 使体系仍处在平衡状态。 体系仍是理想、稳定、完整的。 O q f A B D C F mg mg RX RY 由于O点已经自由，所以， O点的坐标x、y成了新的广义坐标。 这时，全部广义坐标为： q、f、x、y；s＝4。 第五章 分析力学 dWX A = (RX + 2mg) d x ＝0， ∴ RX ＝－2mg， 类似的， RY ＝－F。 同样方法还可以算A点处的约束力。 ∴ d W A = Qq dq + Qf df + QX d x + QY d y. 第五章 分析力学 倒转有效力 虚功原理 §5.3、拉格朗日方程（Lagrange方程） 1. 达朗贝尔原理（ d’Alembert ） 第五章 分析力学 第五章 分析力学 ② 达朗贝尔原理： (对非完整约束也成立) 达朗贝尔－拉格朗日方程 理想约束： 2. 拉格朗日方程的基本形式（Lagrange方程） 第五章 分析力学 由达朗伯原理： 又因为 都是独立的 第五章 分析力学 对一个物理问题，引入一个非物理的量d qa ， Lagrange方程也可以推广的非理想、非完整体系。 消掉全部非物理的量d qa ，得到运动方程。 第五章 分析力学 3. 有势力系的拉氏方程 第五章 分析力学 或者 V(q,t)=V(x(q,t),t),即V(q,t)不含广义速度 第五章 分析力学 第五章 分析力学 定义： （其中V不显含 ，为有势力系），称为拉氏函数或拉格朗日函数（Lagrange function）。 有势力系的拉格朗日方程 第五章 分析力学 得： 代入拉氏方程 第五章 分析力学 （1） Lagrange方程由Newton第二定律导出，用于1个