[理学]第五章 大数定律与中心极限定律1.ppt

第五章 大数定律与中心极限定理 例2某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数 (2) np=20 npq=16 根据中心极限定理,有 P{14≤X≤30}≈ =?(5/2)??(?3/2) = 0.9937?1+0.9331=0.9268 解: (1) X～B(100 , 0.2) 且不多于30户的概率的近似值 (2)? 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户 (1)??写出X的概率分布 例3 某单位有1000台电话分机，每台分机有5%的时间要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证分机用外线时不等待？ 解：设有X台分机同时使用外线，则有 设安装N条外线, 由题意有 由德莫佛-拉普拉斯定理有 查表得 因此有 查表得 故 取 即 所以至少安装62条外线 例4某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。 解： 设至少要供给这个车间r千瓦电才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。由题意有： 设某时在工作着的车床数为X,则 即供给141千瓦电就能以99.9%的概率保证 这个车间不会因供电不足而影响生产。 例5. 现有一批种子，其中良种占1/6。今任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差不超过多少？相应的良种粒数在哪个范围内？ 解： 由德莫佛-拉普拉斯定理 设良种数为X, 则X~B(n,p) 其中 设不超过的界限为? , 则应有 故近似地有 * 大数定律 中心极限定理 §5.1 大数定律 定义 记为 设 是一个随机变量序列， a是一个常数，若对任意? 0, 有 或 则称随机序列 依概率收敛于a 或 定理1（贝努利大数定律） 设 Xn (n=1,2,… )是独立同分布的随机序列, 且 P{Xn=1}=p P{Xn=0}=q 0p1, p+q=1 则对任意? 0, 有 注： 通常令 则定理的结论可写成 或 证： 根据切比雪夫不等式，有 因为 所以 设?n是n次独立重复试验中事件A发生的次数， 令 显然 ?n=X1+X2+...+Xn= 因此，贝努利大数定律也可写为 第i次试验出现A 第i次试验不出现A p是事件A在每次试验中发生的概率， 贝努利大数定律说明，事件发生的频率 依概率收敛于事件的概率p，在实际应用中， 当试验次数很大时，用频率来代替概率. （常常还需要考虑在n次独立试验中, 事件A发生 的概率pk随试验次数k的变化而变化. 对这种情况， 有下面的定理） 定理2（泊松大数定律） 设 Xn (n=1,2,…) 是相互独立的随机变量序列, 且 P{Xn=1}=pn P{Xn=0}=qn pn+qn=1 则对任意? 0, 有 或 证： 根据切比雪夫不等式，有 因为 所以 (前面两个定理说明，只要 则大数定律就成立， 下面的定理说明了这一点) 当n充分大时能任意地小， 的方差 定理3（切比雪夫大数定律） 上界，即 D(Xn)=?n2 ≤C+?，(n=1, 2, …) 则对任意 ? 0, 有 或 设 Xn (n=1, 2,...)是相互独立的随机变量序列， 它们的期望方差都存在，并且方差有共同的 由切比雪夫不等式得： 证： 当n??时 切比雪夫大数定律表明，对于独立随机序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则 与其数学期望 偏差很小的 概率接近于1. 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于1. 即当n充分大时， 差不多不再是 推论： 设 X1 , X2, … 是相互独立的随机变量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1, 2,…, 则对任给 0, (前面三个定理都是假定方差存在且一致有界, 但在许多问题中,往往不能满足上面的要求, 仅知道独立同分布) 注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊 定理4（辛钦大数定律） 若 E(Xi) =a，(i=1, 2, …) 则对任意的? 0，有 设 Xn(n=1, 2,...)是独立同分布的随机变量序列， 情况. 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值 区平均亩产量的一个估计. 提供了一条实际可行的途径. 例如要估计某地区的平均亩产量，收割某 些有代表性的地块，例如n块. 计算其平均 亩产量，则当n较大时，可用它作为整个地 强大