[理学]第五章 第1节 定积分的概念与性质.ppt

一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、定积分的几何意义 五、定积分的性质 六、小结 3．定积分的性质 * 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、定积分的几何意义 五、定积分的性质 六、小结 a b x y o 实例1 （求曲边梯形的面积） a b x y o a b x y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 求曲边梯形面积的步骤： 实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． 1、分割 3、求和 4、取极限 上述两个问题的共性: 1、解决问题的方法步骤相同 : 定义 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 说明： 定理1 定理2 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 a b x y o y x o a b 利用定义计算定积分 解 例1 原式 将和式极限： 表示成定积分. 例2 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小． （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 性质2 性质3 推广：不论 的相对位置如何, 下式总成立. 例 若 （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质4 性质5 解 令 于是 例1 性质5的推论： 证 （1） 证 性质5的推论： （2） 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 性质6 解 例2 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 使 即 积分中值公式的几何解释： 例6 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 *