[理学]第八章 拉普拉斯变换.ppt

第八章 拉普拉斯变换 引 言 1.傅氏变换存在条件是什么? 1)满足狄氏条件; 2)绝对可积; 3)在整个数轴有定义. 2.存在的矛盾: 1)许多函数不满足绝对可积(如正弦函数); 2)许多f(t)在t0时无意义或不需考虑. 设 为任意函数 1) 将积分区间 换成 2) 使 变为绝对可积 则对函数 可取傅氏变换 -----拉普拉斯变换 §8.1 拉普拉斯变换的概念 设函数 f(t)当 t≥0 时有定义,而且积分 (s是一复参量) F(s)在S的某一域内收敛,则称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换,记为 例1 求单位阶跃函数 解：根据拉氏变换的定义, 有 例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数). 这个积分在Re(s)k时收敛, 而且有 2.拉氏变换的存在定理 若函数f (t)满足: (1) 在t ? 0的任一有限区间上分段连续; (2) 当t???时, f (t)的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数 M 0及c ? 0, 使得 |f (t)|? M e ct, 0? t ??则 f (t)的拉氏变换 在半平面Re(s)c上一定存在，且是解析的. 二.常用函数的拉普拉斯变换 例3 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换 常有拉氏变换对 §8.2 拉氏变换的性质 一.线性与相似性质 *2. 相似性质 二. 延迟与位移性质 1.延迟性质 2. 位移性质 证: ? ? 利用数学归纳法得: ? 例3.求解微分方程 2.象函数的微分性质 四. 积分性质 五. 周期函数的象函数 作 业 注: 这是求周期函数拉氏变换公式 设f(t)是[0,+∞]内以T为周期的函数,且f(t)在一个周期内逐段光滑,则 ? * * 3.解决方法: ? = ? 一. 定义 2.拉氏逆变换:称 为 的拉普拉斯逆变换,记为 1.拉普拉斯变换: 这个积分在Re(s)0时收敛, 而且有 ? ? 其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为 Re(s)Re(k) 解：根据拉氏变换的定义, 有 ? ? M Mect f (t) t O 注1:大部分常用函数的Laplace变换都存在； 注2：存在定理的条件是充分但非必要条件. 解 ? 例2 求单位脉冲函数 的拉氏变换 解： ? ? 同理可得 ? 如 ? ? ? ? 1. 2. 3. 4. 6. 7. 5. 1. 线性性质 ? 设 为常数则 ? ,? ? 表明:函数线性组合的拉氏变换,等于各函数 拉氏变换的线性组合. 若 = ? 则 ? ? ? 或? 注: 表明时间函数延迟 的拉氏变换,等于它的 象函数乘以指数因子 为非负实常数, ? 若 当t0,时f(t)=0, 则 例1. 求函数 的拉氏变换 解 因为 ? 所以 ? ? ? 若 则 注: 一个函数乘以 的拉氏变换等于其象函 数作位移a. ( 为正整数). 例2. 求 解 因为 ? ? ? 所以 ? ? ? ? 注 1)性质表明:一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数拉氏变换乘以参数S, 再减去函数的初值. 2)可用于求解微分方程(组)的初值问题. ? 三.微分性质 1.原象函数的微分性质 ? 若 则 一般地有 其中 ? ? 解: 令 对方程两边取拉氏变换,并利用性质有 代入初值得 查表知: ? 注 表明一个函数与 的乘积的拉氏变换等于其 象函数的 n 阶导数与 的乘积 ? 若 则 ? 一般地 ? 解 因为 同理,? 例4. 求函数 ? ? 所以,? ? 注: 表明一个函数积分后再取拉氏变换,等于这 个函数的拉氏变换除以参数S. 若 则 ? 1.原象函数的积分性质 一般地 ? 若 ? 则