[理学]第八章常微分方程数值解.ppt

若取 ,则 ，此时二阶龙格-库塔 法的计算公式为 此计算公式称为变形的二阶龙格—库塔法。式中 为区间 的中点。 8.4.3 三阶龙格-库塔法 为了进一步提高精度，设除 外再增加一点 并用三个点 , , 的斜率k1，k2，k3加权平均 得出平均斜率k*的近似值，这时计算格式具有形式: （8.4.5） 为了预报点 的斜率值k3 ，在区间 内有两 个斜率值k1和k2可以用，可将k1,k2加权平均得出 上的平均斜率，从而得到 的预估值 于是可得 运用Taylor展开方法选择参数 ,可以使格式(8.4.5) 的局部截断误差为 ,即具有三阶精度，这类格式统称为三阶龙格—库塔方法。下列是其中的一种，称为库塔（Kutta）公式。 (8.4.6) 8.4.4 四阶龙格—库塔法 如果需要再提高精度，用类似上述的处理方法，只需在区间 上用四个点处的斜率加权平均作为平均斜率k*的近似值，构成一系列四阶龙格—库塔公式。具有四阶精度，即局部截断误差是 。 由于推导复杂，这里从略，只介绍最常用的一种四阶经典龙格—库塔公式。 （8.4.7） 龙格—库塔方法的推导基于Taylor展开方法，因而它要求所求的解具有较好的光滑性。如果解的光滑性差，那么，使用四阶龙格—库塔方法求得的数值解，其精度可能反而不如预估-校正法。在实际计算时，应当针对问题的具体特点选择合适的算法。 8.5 线性多步法 龙格-库塔方法是一类重要算法，但这类算法在每一步都需要先预报几个点上的斜率值，计算量比较大。考虑到计算yi+1之前已得出一系列节点 上的斜率值，能否利用这些已知值来减少计算量呢？这就是线性多步法的设计思想。 下面，我们介绍线性多步法中的亚当姆斯格式。 设用xi,xi-1两点的斜率值加权平均作为区间 上的平均斜率，有计算格式 选取参数λ，可使格式（8.5.1）具有二阶精度。 （8.5.1） 将 在xi处Taylor展开 代入计算格式(8.5.1)化简,并假设 因此有 与y(xi+1)在xi处的Taylor展开式 相比较, 需取 这样导出的计算格式 称之为二阶亚当姆斯格式。类似地可以导出三阶亚当姆斯格式。 才使格式(8.5.1)具有二阶精度。 和四阶亚当姆斯格式。 这里和下面均记 上述几种亚当姆斯格式都是显式的，算法比较简单，但用节点 的斜率值来预报区间 上的平均斜率是个外推过程，效果不够理想。为了进一步改善精度，变外推为内插，即增加节点xi+1的斜率值来得出 上的平均斜率。譬如考察如下的隐格式： （8.5.2） 设 ,Taylor展开有 可见要使格式(8.5.2)具有二阶精度,需令 ,这样就可构造二阶隐式亚当姆斯格式 其实是梯形格式。类似可导出三阶隐式亚当姆斯格式 和四阶隐式亚当姆斯格式 8.6 算法的稳定性及收敛性 8.6.1 稳定性 稳定性在微分方程的数值解法中是一个非常重要的问题。因为微分方程初值问题的数值方法是用差分格式进行计算的，而在差分方程的求解过程中，存在着各种计算误差，这些计算误差如舍入误差等引起的扰动，在传播过程中，可能会大量积累，对计算结果的准确性将产生影响。这就涉及到算法稳定性问题。 当在某节点上xi的yi值有大小为δ的扰动时，如果在其后的各节点 上的值yi产生的偏差都不大于δ，则称这种方法是稳定的。 稳定性不仅与算法有关，而且与方程中函数f(x,y)也有关，讨论起来比较复杂。为简单起见，通常只针对模型方程 来讨论。模型方程相对比较简单，若一个数值方法对模型方程是稳定的，并不能保证该方法对任何方程都稳定，但若某方法对模型方程都不稳定，也就很难用于其他方程的求解。 先考察显式Euler方法的稳定性。模型方程 的Euler公式为 将上式反复递推后，可得 或 式中 要使yi有界，其充要条件为 即 由于 ，故有 （8.6.1） 可见，如欲保证算法的稳定，显式Euler格式的步长h的选取要受到式（8.6.1）的限制。 的绝对值越大，则限制的h值就越小。 用隐式Euler格式 对模型方程的计