[理学]第八章金融数学模型--华东理工大学数学建模课件.ppt

数学建模 第八章　金融数学模型 8.1　保险的需求模型 8.2　资产组合选择模型 8.3　资本资产定价模型 8.4　企业负债的合理确定模型 保险的需求模型  资产组合选择模型 资本资产定价模型 企业负债率的合理确定模型  下式应成立： 即，两种资产的预期收益率经风险调整值调整后应相等，否则，没有人会购买调整后收益率底的风险资产。并且，风险资产去除风险因素后其收益率应与无风险资产的收益率相等， 即： 整理后可得： ……………..(2) （2）式这一般性的结论，即，任何一种风险资产的均衡收益率可以分成两部分，一部分为无风险资产应有的收益率，另一部分为“风险溢价”（Risk premium），即按照该资产风险大小而定的风险调整值，它表示为了让人们承担风险而必须予以的补偿。这一结论称为资本资产定价模型（Capital Asset pricing Model， “CAPM”） ， 即： 这一模型是本世纪50、60年代一些证券分析家及研究人员提出来的，如美国的马柯维兹（Markowity）最早提出了现代投资组合理论， 在其基础上由夏普（william F.sharpe）。林特纳(John lintner)和莫辛（Jan mossin）发展了资本市场理论，建立起资本资产定价模型。这一结论可以用图象表示。横轴表示β值，纵轴表示预期收益率，则，所有的均值点都在一条直线上，其纵截距为，斜率为 ：，这条直线称为“市场线”（Market line） 预期收益率（ri） A rm rf 0 1 L:ri=rf+βi(rm-rf) 市场线 (斜率= rm-rf) β值 市场线”代表了市场均衡条件下预期收益和市场风险之间存在的线性关系。 图：风险资产市场线 若某一种资产的预期收益和β值不在市场线上，如，在市场线L的上方的A点处，以股票为例，假定某种股票当期不发红利或红利可以忽略不计，那么该股票预期收益率为预期下期价格相对于当前价格的上涨率：即， 因为A点在市场线L上方， ∴ 所以购买这种股票将是十分有利可图的，因为经风险值调整后，该股票的预期收益率要高于市场上其他股票，即，该股票的当前价格P0被低估了。一旦人们发现了这种股票都会抢着购买，于是该股票价格P0会被提高，相应地， 会下降，直至A点回到市场线上。 众所周知，在股票市场上，许多专家和投机者都在寻找位于市场线上方的股票，所以在一个高效率，或充分信息的市场上，将不会出现股票价格被高估或被低估的情况。 当然，这一模型的前提是人们对所有资产的风险都有统一的认识，否则，该模型要复杂得多。 “资本资产定价模型” 假定投资者可在下列资产中进行选择：无风险资产以及几种风险资产，其预期收益分别为 ，若投入每一种资产的比例为 则组合资产的预期收益和方 差分别为：R= （ 为资产i与资产j收益的协方差（i≠j），或第 I种资产收益的方差（i=j）） 资产组合选择就是要解决下面的条件极值： 此处并不要求＞0，即允许对任何一种资产买空卖空。 建立拉格朗日函数： L= 若在几种可供选择的风险资产中，有一种是互助基金，且这一基金是均值---方差最优，即本身就符合（1）式的一阶条件， 令这一资产为第 种资产，那么 的投资方式也是最优的。在（1）式中， ，从而第i个一阶条件变成： 由（1）式得 2 在（2）式中，当i=0时， 由（2）式得： 当i=e时， ，即资产e的方差 由（2）可得， ⑷-⑶ 将（5）代入（3） 将（5）、（6）代入（2）得： 假设在基金e中，第i种资产所占比例为 ， 则 。 设有m位投资者， ：第K位投资者投入风险资产的财富； ：第K位投资者购买风险资产i的数量； ：单位风险资产i的价格。 则 …