[理学]第六节 定积分的换元法与分部法.ppt

二 定积分的分部积分法 是奇函数， 例10.计算 解 原式=0 例11 计算 解：　易知 因此 且积分区间对称于原点， 奇函数 例12 计算 解 原式 偶函数 单位圆的面积 例13 求 解： 例14 奇函数 偶函数 四分之一单位圆的面积 例15 证明 证明： 说明： 1、该公式称为定积分的分部积分公式，使用该公式时要注意，把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分.这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些. 2、u 、v 的选择与不定积分的分部积分法相同. 3、 用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量, 故在计算过程中自始至终均不变限, ????????????????? 解： 例16 计算 解：　根据定积分的分部积分公，得 例18 　计算 例 19 计算 解： 例20 求 解： ????????????????? 解： 例24 计算 例25 求 解： x t 0 1 ， * * * * * * * 一、定积分的换元积分法 第六节 定积分的 换元积分法与分部积分法 二、定积分的分部积分法 我们先看下面的例子： 解：先求原函数，再根据牛顿—莱布尼兹公式求定积分 例 1　计算 解　按照换元就换限的方法. 则 x = t 2 ， dx = 2tdt， 于是 定理 一、定积分的换元积分法 则 x t a b α β 证明 注意： (1)定积分的换元法在换元后，积分上下限也要作相应的变换，即“换元必换限”. (2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量. (3)新变元的积分限可能αβ，也可能αβ，但一定要求满足 ，即 对应于 ， 对应于 . 思考题：定积分的换元法与不定积分的换元法有何不同？ 10. 定积分换元积分限要改变，不定积分无积分限。 20. 不定积分换元需回代，定积分换元不需回代 例2 求 解： x t 4 9 2 3 x t 0 ln2 0 1 解： 2 2 0 2 4 1 ] 2 sin 2 1 [ 2 a t t a p p = + = . 提示： t a t a a x a cos sin 2 2 2 2 2 = - = - , tdt a dx cos = . t x x 0 = = 时 当 = 时 0 , 当 a 2 p = t . 例4 例5 求 解： 方法一 方法二 例6 计算 解： 换元一定要换积分限? 不换元积分限不变? 例7 解： 或 提示： 注： 换元一定要换积分限? 不换元积分限不变? 解 ： 提示： | cos | sin ) sin 1 ( sin sin sin 2 3 2 3 5 3 x x x x x x = - = - . = | x x = 在 ] 2 , 0 [ p 上 |cos | cos , 在 ] , 2 [ p p 上 |cos x - cos x . 例8 5 4 ) 5 2 ( 5 2 ] sin 5 2 [ ] sin 5 2 [ 2 2 5 2 0 2 5 = - - = - = p p p x x . 解： 例8 例 9　设函数 f (x) 在对称区间[- a, a]上连续， 求证： (2) 当 f (x) 为偶函数时， (3) 当 f (x) 为奇函数时， 证：　(1) 根据定积分的区间可加性， 则 则 ① (1) 得 对①式右端第一个积分用换元积分法， 令 x = - t， 则 dx = - dt， x t -a 0 a 0 ， 于是 把 ② 式代入 ① 式中，得 ② (2) 因为 f (x) 是偶函数，即 f (- x) = f (x)， 得 (3) 因为 f (x) 是奇函数，即 f (- x) = - f (x)， 得 例9表明了连续的奇、偶函数在对称区间[–a,a]上的积分性质，即偶函数在[–a,a]上的积分等于区间[0,a]上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.