[理学]第六讲高等数学习题课两个重要的公式.ppt

五、 函数连续性的定义***** 六、 函数的间断点 间断点分类: 例如: 内容小结 练习 备用题 确定函数 间断点的类型. 2. 求 (补充）三、 极限 3. 无穷小 例6. 求下列极限： 令 例7. 确定常数 a , b , 使 （2） 函数 看成由 复合而成，利用分子有理化 = 小结 利用“函数连续的极限值即为函数值” 可求连续函数的极限。 在一定条件下复合函数的极限， 极限符号与函数符号可交换次序． 可见 , 函数 在点 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡 , 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 2. 设 时 提示: 为 连续函数. 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , 解: 间断点 为无穷间断点; 故 为跳跃间断点. 解: 原式 = 1 作业：教材习题一 1. 极限定义的等价形式 (以 为例 ) (即 为无穷小) 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 极限存在准则及极限运算法则 无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ; 常用等价无穷小: 4. 两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 求极限的基本方法 提示: 无穷小 有界 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课一 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限， 无穷小量，无穷大量，等价无穷小， 在一点连续，连续函数，间断点， 第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点）， 第二类间断点. 2.基本公式 （代表同一变量). 两种形式 注意能求的极限形式 3.基本方法***** ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子 求 形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的 最高次幂求 形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号 可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积 仍为无穷小量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系， 单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性, 极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系 初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 二、学法建议 1．本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念， 特别是求极限的方法，灵活多样．因此要掌握这部分 知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习． 2．本章概念较多，且互相联系， 例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大, 极限，无穷小，连续等．只有明确它们之间的联系， 才能对它们有深刻的理解， 因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系． 3．要深刻理解在一点的连续概念， 即极限值等于函数值才连续． 千万不要求到极限存在就下连续的结论; 特别注意判断分段函数在分段点的连续性． 三、例题精解 例1 求下列极限: (1) (2) (3) (4) (5) 例2 设 问当 为何值时， 是 的间断点? 是什么间断点? 四、主要解题方法 求函数极限方法***** 1.利用极限存在