[理学]第十一节 反常积分.ppt

第十一节 反常积分 (广义积分) 引例： 一、无穷限的反常积分 引例: 二、无界函数的反常积分 说明: 三、小结 说明: 例 试证 2、无界函数的反常积分（瑕积分） 1、无穷限的反常积分 （注意：不能忽略内部的瑕点） 3、 两个重要的反常积分 (1) 有时通过换元 , 反常积分和定积分可以互相转化 . 例如 , (2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间, 分别讨论每一区间上的反常积分. 3、 两个重要的反常积分 * 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分 二、无界函数的反常积分 定积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 反常积分 (广义积分) 曲线 和直线 x=1 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积， 可记作： 其含义可理解为 称为函数 f(x) 在无穷区间 [a,+?)上的反常积分(improper integral). 定义1 设 f(x) 在 [a,+?) 的任何有限子区间上可积,若极限 存在,则称反常积分 收敛, 并记作： 若极限不存在,则称反常积分 发散. 称为函数 f(x) 在无穷区间 (??,b] 上的反常积分. 设 f(x) 在 (??,b] 的任何有限子区间上可积,若极限 存在,则称反常积分 收敛, 并记作： 若极限不存在,则称反常积分 发散. 称为 f(x) 在 (??, +?)上的反常积分. 若 和 中,至少有一个发散, 则称反常积分 发散. 若式中出现 ? ?? 并非未定式 , 它表明反常积分发散. 例1 计算反常积分 解 在(??, +?)上的反常积分一般不考虑函数的奇偶性. 同理： 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : 例1 计算反常积分 解 思考 分析 原积分发散! 注意: 对(??, +?)上的反常积分,未必能使用“偶倍 奇零” 的性质. 例 计算反常积分 解 发散 例2 计算反常积分 解 例3 计算反常积分 解 证 证 例6 计算广义积分 解 例7 计算反常积分 解 注意 曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积. 可记作： 其含义可理解为: 若函数 f(x) 在点 x=a 的任一邻域内无界,则称点 x=a 是(无界)函数 f(x) 的遐点. 称为无界函数函数 f(x) 在(a,b)上的反常积分. 定义2 设 f(x) 在 (a,b] 的任一闭子区间上可积,点 x=a 是遐点.取 ? 0,如果极限 存在，则称反常积分 收敛,并记作: 否则称反常积分 发散. 类似地： 设 f(x) 在 [a,b) 的任一闭子区间上可积,点 x=b 是遐点.取 ? 0,如果极限 存在，则称反常积分 收敛,并记作: 否则称反常积分 发散. 设点 x=c??a,b? ,且点 x=a 是(无界)函数 f(x) 的遐点. 否则称反常积分 发散. 若式中出现 ? ?? 并非未定式 , 它表明反常积分发散. 例1 计算广义积分 解 显然 x=a 是遐点. 若 x=b 为瑕点, 则 若 x=a 为瑕点, 则 若 x=a 与 x=b 均为瑕点, 则 注意: 若瑕点 c??a,b? , 则 可相消吗? 例1 计算广义积分 解 显然 x=a 是遐点. 证 是瑕点 例3 计算广义积分 解 故原广义积分发散. 是瑕点 下述解法是否正确: , ∴积分收敛 例 讨论反常积分 的收敛性 . 解 所以反常积分 发散 . 例4 计算广义积分 解 是瑕点 例4 计算广义积分 解 是瑕点 例5 计算广义积分 解 是瑕点 例 解 求 的瑕点, 故 I 为反常积分. 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点,则本质上是常义积分,而不是反常积分. 例如, * *