[理学]第十三章拓扑泛函分析抽象代数.ppt

第十三章 拓扑、泛函分析、抽象代数 序 　　 萌芽于19世纪末，奠基于20 世纪初，成长于两次世界大战之间的拓扑、泛函分析、抽象代数 是现代数学发展的理论基础。一个数学工作者，要想站在数学研究的前沿，必须有拓扑、泛函分析、抽象代数的雄厚基底。正因为如此，我国所有的大学数学系均把它们列入教学计划，并称之为“新三高”（“老三高”指数学分析、高等代数、高等几何）。 §１、拓扑学（位置几何学） 拓扑学最早起源与1736年欧拉研究的“哥尼斯堡七桥问题”。18世纪东普鲁士首都哥尼斯堡是一个著名的大学城。它位于布勒尔河的两条支流之间，那里有七座桥联接着一个岛和一个半岛，如图。 抽象分析法 大学生的请教 欧拉采用了抽象分析法，他用点代表两岸、岛和半岛，用线代表桥。如图。 “一笔画”问题 “七桥问题”可归结为“一笔画”问题。“一笔画”的条件要么没有奇点，要么最多只有两个奇点，但是这个图形的四个点均为奇点，所以无解。 这个问题和1751年欧拉证明的另一条定理：“任何一个凸多面体的顶点V、棱数E和面数F之间有关系V-E+F=2”成为拓扑学的最早起点。拓扑学的“拓扑”（Topology）一词最早在1847年由利斯亭（J.B.Listing）所采用。 拓扑学的研究（1） 系统的拓扑学研究开始于庞加莱。他研究微分方程的积分曲线的形状和奇异点的性质，基本上属于拓扑学的范围。 1895年，他出版了《位置分析》一书，第一次系统地论述了拓扑学的内容。这也是拓扑学过去很长时间叫“位置分析”的原因。 拓扑学又称 “橡皮几何学”，是因为拓扑学研究几何图形的这样一种性质：在图形被弯曲、拉大、缩小或连续变形下保持不变的性质。 “点不变，线不断，面不烂”！ 拓扑学的研究（2） 由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象和方法各异的若干分支。 在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就出现点集拓扑学和组合拓扑学两个方向。现在前者已演化成一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来又相继出现了微分拓扑学、几何拓扑学等分支。 拓扑学主要是由于分析学和几何学的需要而发展起来的，它自20世纪30年代以来的大发展，尤其是它的成果与方法对于数学的各个领域的不断渗透，是20世纪理论数学发展中的一个明显特征。 拓扑学的研究（3） 点集拓扑是在康托点集和弗雷歇（M.Fre-chet,1878---1973,法国）的函数点集(函数空间)基础上开创的。1908年，德国的熊福莱斯提出了点集拓扑学的概念。1914年豪斯道夫在他的《集合论纲要》中建立了抽象空间的完整理论，第一次抽象地使用了点集、和邻域的概念，标志着点集拓扑学的正式形成。 拓扑学的研究（4） 组合拓扑学的奠基人是H.庞加莱。组合拓扑开始于庞加莱1885—1904年间发表的一系列论文。流形、单形、复形、边缘、链、贝蒂（Betti）数、挠系数、示性数等概念，都在这些论文中提出。------ 拓扑学在20世纪20---30年代获得重大进展。首先是出现复形的同调群，它由亚历山大罗夫等人完成。------ 1937年，美国的惠特尼证明了微分流形的嵌入定理，正式创建了微分拓扑学。 §2、泛函分析 泛函分析是综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数（也称泛函）、算子和极限的数学学科。它可以看作是无限维向量空间的解析几何及数学分析。产生泛函分析的背景是变分法、集合论、积分方程的发展。泛函分析的名称是阿达玛首先使用的。 泛函分析是在20世纪发端，而于20年代—30年代基本完成的。 泛函分析的发展（1） 在建立函数空间和泛函的抽象理论中，第一个卓越成果，属于法国的著名数学家弗雷歇，他在1906年的博士论文中，用抽象形式表达了函数空间；空间中每一点是函数，函数的极限可以看作空间中点列的极限，这是他的一个深刻的思想。1907年，施密特把希尔伯特研究积分方程时使函数等同于傅氏系数集的思想，抽象为一般的L2 ，并导出正交系，希尔伯特空间的名称也由此产生。 泛函分析的发展（2） 作为泛函分析核心的抽象算子理论的一个良好的开端，由黎兹1910年发表在《数学年刊》的文章所做出。 巴拿赫在黎兹的基础上，提出了完整的赋范空间（巴拿赫空间）概念，并为函数空间上的线性算子理论提出了一系列重要定理，对近代泛函分析的发展起了重要的作用。 泛函分析的发展（3）巴拿赫 巴拿赫（S.Banach,Stefan,1892.3.30---1945.8.31）生于波兰的克拉科夫，卒于苏联乌克兰加盟共和国的利沃夫。是当时波兰利沃夫学派的领导人。巴拿赫的童年过着清苦的生活。14岁那年他就不得不到私人家里讲课以养活自己。 泛函分析的发展（4） 巴拿赫（续一） 1910年巴拿赫中学毕业后曾自修数学，并到雅各龙大学听过一个短时期的课。后来就读于