[理学]第十二讲统计模型数据拟合方法.ppt

软件开发人员的薪金 一家高技术公司人事部门为研究软件开发人员的薪金与他们的资历、管理责任、教育程度等因素之间的关系，要建立一个数学模型，以便分析公司人事策略的合理性，并作为新聘用人员工资的参考。 他们认为目前公司人员的薪金总体上是合理的，可以作为建模的依据，于是调查了46名开发人员的档案资料，如下表。 其中资历一列指从事专业工作的年数，管理一列中1表示管理人员，0表示非管理人员，教育一列中1表示中学程度，2表示大学程度，3表示更高程度（研究生等）。 1、分析与假设 建模的目标： 为了简单起见，我们假定资历（年）对薪金的作用是线性的，即资历每加一年，薪金的增长是常数； 管理责任、教育程度、资历诸因素之间没有交互作用。 基本模型 3、结果分析 从表中， 4、进一步讨论 的置信区间包含零点，说明上述基本模型存在缺点。为了 下图给出 应在基本模型中增加管理 5、更好的模型 由上表可知，这个模型的 做该模型的两个残差分析图，可以看出，已经消除了 不正常现象，这也说明了模型的适用性。 从上图，还可以发现一个异常点： 具有10年资历、大学程度的管理人员（编号33）的实际薪金明显低于模型的估计值，也明显低于与他有类似经历的其他人的薪金。 这可能是由我们未知的原因造成的。 为了使个别数据不致影响整个模型，应该将这个异常数据去掉，对模型重新估计回归系数，得到的结果如表。 残差分析见图。 可以看到，去掉异常数据后结果又有改善。 可以看出：大学程度的管理人员薪金比研究生程度管理人员薪金高，而大学程度的非管理人员薪金比研究生程度非管理人员薪金略低。 当然，这是根据这家公司实际数据建立的模型得到的结果，并不具普遍性。 7、评注： X 129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5 Y 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5 Z 4 8 6 8 6 8 8 表1 水道测量数据 X 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5 Y -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5 Z 9 9 8 8 9 4 9 * 　　许多简单的模型会产生很复杂的求解过程，或者很难解的方程组。基于这一原因，我们要使用变换，得出近似的最小二乘模型。 解这个非线性方程组是不容易的。 　　通过对数据分析研究，发现先变换数据再对变换后的数据拟合直线很方便。 　　例如，图形拟合 　，可以作变换 而对于　　 和x的图却是直线。对变换后的数据拟合直线，可用于最小二乘准则，简化拟合过程的计算。 　　特别地，如果找到一个方便的变换，问题变成在变换后的变量X和Y间采用 　　 的形式。 方程　　　　　两边取对数得 假设我们想对这数据点集拟合幂曲线 用 记Ａ的估计， 记Ｎ的估计。 在变量　　对 的图中，上方程构成一条直线。 　　是此直线的截距， 是此直线的斜率。用变换后变量和　　　个数据点，有 x 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 y 0.7 3.4 7.2 12.4 20.1 对于数据 从所给的数据得到　　　　　　　　　　　　　 所以方程的最小二乘最佳拟合为　 产生　 由此模型可计算当 x=2.25 时，预测 y 的值为16.4348 假设仍想对这数据点集拟合二次曲线 仍用 记Ａ的估计，对方程 　　　 两边取对数得 x 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 y 0.7 3.4 7.2 12.4 20.1 对于数据 在变量　　对 的图中，上方程是一条斜率为2 截距为 的直线。利用最小乘法计算得 所以方程的最小二乘最佳拟合为　 由此模型可计算当 x=2.25 时，预测 思考： 没有变量代换 经变量代换 这两个模型哪个更好？ 2001年全国大学生数学建模竞赛赛题A 血管的三维重建 曲 线 拟 合 2005年全国大学生数学建模竞赛赛题A 长江水质的评价和预测 2006年全国大学生数学建模竞赛赛题A 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 2 1 6 22884 24 2 1 3 21371 12 2 0 6 13839 23 1 1 3 14975 11 3 1 6 21352 22 2 0 3 1