[理学]第四 章空间解析几何.ppt

前言 同平面解析几何一样,空间解析几何就是通过建立空间直角坐标系,使空间的点与三元有序实数组之间建立起一一对应的关系,并将空间图形与三元方程联系在一起,从而达到用代数方法研究空间几何的目的.因此,空间解析几何的内容也是很重要的,它是学习多元函数微积分的基础. 4.1 空间直角坐标系与向量的概念 4.2 向量代数 一、向量的概念 4.2.2向量的加减法 4.2.2.1.向量的加法 再由 可得 4.4 平面方程 4.4.1平面 1. 平面的点法式方程 1.空间直线的点法式方程 3.空间直线的一般方程 4.6 空间曲面与空间直线 4.6.2、空间曲线 1.空间曲线的一般方程 直线与平面的相互关系及直线间的相互关系由直线的方向向量与平面的法向量之间的关系及两直线的方向向量之间的关系来决定. 空间直线与平面的夹角是指直线的方向向量与平面的法向量的夹角(通常指锐角)的余角. 两直线的夹角是指两直线的方向向量的夹角(通常指锐角). 由直线与平面的夹角和两直线的夹角的定义及两向量垂直、平行的条件可得下面结论： 例9 求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线方程. 解 因为所求直线垂直于已知平面，所以平面的法向量n={2,-3,1}就可取作直线的方向向量.故所求直线方程为 4.6.1．空间曲面 由前面的讨论可知，在空间直角坐标系下，三元一次方程是表示空间中的平面。二次或二次以上的三元方程所表示的图形一般来说就不再是平面，而是空间曲面。特别地，三元二次方程所代表的曲面称为二次曲面。 下面，我们主要介绍一些常用的二次曲面。 4.6.1.1 球面 这就是曲面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程.因此方程（1）就是以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面标准方程(spherical equation). 如果球心在原点，则x0=y0=z0=0,曲面方程为 x2+y2+z2=R2 若将(1)式展开，则得 关于x、y、z的二次方程，它的缺点是缺xy、yz、zx项，且平方项的系数相等.反之，具有上述特点的二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+ G=0…………(2) 若经过配方可以化成方程(1)的形式，那么它的图形就是一个球面. 例如 x2+y2+z2 - 2 x+4y=0 经过配方后，可化为(x-1)2+(y+2)2+z2=5, 与(1)式比较知它表示球心在点M0(1,-2,0),半径为√5的球面. 例4.25． 方程 是否表示为实球面？若是，请求出球心及半径。 解： 将方程配方得 即 所以原方程代表一个球心在（1,-2,3) ，半径为6的实球面。 4.6.1.2 柱面方程 如图4-21所示，设C是一条空间曲线，动直线L沿定曲线C平行 移动所形成的曲面称为柱面。定曲线C称为准线，动直线L称为 柱面的母线。 L C L 图4—21 在此，仅对准线在坐标面上，母线平行于该坐标面的柱面 进行讨论。下面以例子说明。 例4.26． 方程 表示什么曲面？ 在平面直角坐标系Oxy中，方程 表示圆心在原点， 半径为的圆。 在空间直角坐标系Oxyz中，此方程不含z，即不论空间点的坐标 怎样，只要其x坐标与y坐标能满足此方程,那么这些点 就在此方程 所表示的曲面S上。 反之，凡是点x的坐标与y坐标不满足此方程，不论其z坐标怎样， 这些点都不在曲面S上。 换句话说，凡是通过xoy面上的圆 上的点 ，且平 行z轴的直线都在曲面S上， 所以曲面S可看作是平行ｚ轴的直线L沿xＯy面上的圆 平行 移动所形成。它是一个柱面，称之为圆柱面。 由此可见，在空间直角坐标系中，不含ｚ的方程　　　　是表 示一个母线平行于ｚ轴，准线是xoy面上的圆 的圆柱面。 一般地，不含变量z的方程表示准线在xOy面上，母线平行于z轴的 柱面；类似，不含x的方程表示准线在yOz平面上，母线平行于轴 的柱面；不含y的方程表示准线在zOx平面上，母线平行于y轴的柱面。 例如方程 ， ， 在空间直角坐标中分别