[理学]第四章 空间轴对称问题.ppt

(2) 显然，只有当单元离开对称轴较远时，才可以认为 、 大致相等，则由上式得出简单的结果；即将面力的 移置到结点i， 移置到结点j。 需要注意，在轴对称问题中的结点力实际上是整个结圆上的力，这是与平面问题不同的。 (4-26) 3．考虑温度改变的影响，由于应力应变关系包含温度应变，于是公式(e)还应加上热载荷 单元e中结点i上的温度改变引起的结点力为 式中 为温度改变引起的应变，将(4-7)、(4-3)式中的 矩阵和上式代入(6-27)式得到 (4-28) (4-27) 上式 中的两个积分通常可用数值积分法求积，或简单地取近似表达式 将以上两式代入(4-28)式，并注意到§4-2中的(i)式，使得温度改变引起的等效结点力的近似表达式 (4-29) 在§4-3中我们导得单元刚度矩阵 ，它可以划分为3个2×2的子矩阵，即 由于子矩阵 、 与坐标r、z有关，上式的积分不可能象平面问题那样简单地进行。为了避免复杂的积分运算，在§4-3中用单元形心的坐标值 代替其中的坐标r和z，导得近似刚度矩阵(4-12)式。现在我们来推导精确的刚度矩阵。为此，把子矩阵 分成两部分 (a) 其中 是象§4-3中那样，用单元形心坐标 代入 后得到的； 而 是它的变化部分。由(4-7)式可知 (b) 把(a)式代入(4-11)式，有 注意到矩阵 、 的元素都是常量，它们可以提到积分号的外面，而且 (c) 故有 于是(c)式可以化成 其中第一项即(4-12)式给出的近似刚度矩阵，第二项是它的修正部分 (4-30) (4-31) 上式使用了缩写符号 (4-32) 按照(4-3)式计算修正项 必须先求出In，也就是需要求出上述三个积分，它的积分区域在三角形ijm上（左图）。当具体积分时，可以在三个梯形i1imm1、m1mjj1和i1ijj1上进行，由前面二个梯形面积分的和中减去第三个梯形面积分。经过运算并加以整理后，得到 其中 在(4-33)式中的和号 表示大括号中各项对i,j,m轮换后再相加。 (4-33) (4-34) * 若弹性体的几何形状对称于某一轴线，我们称这样的结构为轴对称结构。空间轴对称结构根据其所受的外载荷和约束对称其对称轴与否，可分为两种情况： 1) 轴对称结构受有轴对称载荷和约束，称这种结构的弹性力学问题为轴对称问题； 2) 轴对称结构受有非对称载荷和约束，称这种结构的弹性力学问题为一般空间弹性力学问题的特殊情况。 研究上述两种问题，采用圆柱坐标系 比较方便。 由于空间轴对称问题的几何形状，约束情况及轴对称弹性体所受的外载荷都对称于z轴，如图，故这种弹性体内各点的各项应力分量、应变分量和位移分量也都对称于z轴，而与环向坐标 无关，所谓各项应力分量、应变分量和位移分量都与 坐标无关，其含义是，在任何一个过z轴的子午面上的位移、应变和应力的分布规律都相同。 由于各分量都对称于z轴，与 无关，因此弹性体内各点只可能存在着径向位移u和轴向位移w（此时，u, w只是r, z的函数），而环向位移v = 0。则必有剪应变 ，否则这种轴对称问题的弹性体将不能保持轴对称状态而发生歪扭，这在实际中是不可能出现的。 根据轴对称问题弹性体的上述特点，即v = 0， ， 。其平衡微分方程为： (4-1) 几何方程为 物理方程 式中 ——轴对称问题弹性体的弹性矩阵； ——轴对称问题弹性体的应变列阵。 (4-2) (4-3) 根据轴对称问题的特点，我们只须考查轴对称结构的任意子午面上各单元的各应力分量和各结点的位 移分量。在轴对称结构的任意子午面上 （即rz平面）任取一个三角形单元i,j,m， 基本未知量仍然取结点位移，单元的结 点位移可用列阵表示为 (4-4) 图5-1 轴对称结构 仿照平面问题，取线性位移模式 类似于平面三角形单元的推导，可得 (b) (a) 其中形函数 (c) 而 (4-5) (4-6) (b)式也可写成矩阵形式