[理学]第四章 线性系统的根轨迹法.ppt

4-2 根轨迹绘制的基本法则 第四章 线性系统的根轨迹法 4-1 根轨迹概念 将开环系统某一参数从零到无穷变化时，闭环系统特征方程式的根在S平面内变化的轨迹称为根轨迹。 2 根轨迹与系统性能 4 根轨迹方程 根轨迹的模值条件与相角条件 4.2 绘制根轨迹的基本法则 4.2 绘制根轨迹的基本法则 例4-1 某单位负反馈开环传递函数为 ,试绘制闭环系统根轨迹。 例4-1 某单位负反馈开环传递函数为 ,试绘制闭环系统根轨迹。 例4-2 某单位负反馈开环传递函数为 ,试绘制闭环系统根轨迹。 例4-3 设系统开环传函为 试绘制根轨迹。 4-3 广义根轨迹 等效开环传递函数的含义 概念来源：两个系统虽然有不同的开环传递函数，却有相同的闭环极点 已知系统的闭环特征方程为D(s)=0，则所有可以由D(s)=0得到的方程1+G(s)H(s)=0中的G(s)H(s)如果不是系统的开环传递函数，则为等效开环传递函数。 图示系统的根轨迹图 最后绘制出以时间常数T为可变参数的根轨迹图如图所示。由根轨迹图可知，时间常数 T=1 秒时，系统处于临界稳定状态，T1秒时，根轨迹在S平面右半部，系统不稳定。由此可知，参数根轨迹在研究非开环根轨迹增益 对系统性能的影响是很方便的。 由上面的例子，可将绘制参数根轨迹的方法归纳为下述两个步骤： ⑴先根据系统的特征方程 求出系统的等效开环传递函数 ，使 与绘制普通根轨迹的开环传递函数有相同的形式，即 2 零度根轨迹 应用条件：根轨迹方程可写为如下形式的系统 含正反馈内回路 4-4 系统性能分析 2 系统性能的定性分析 1） 主导极点及偶极子 2） 利用主导极点进行性能分析 ３）闭环零、极点对系统动态性能的影响 （1）稳定性。如果闭环极点全部位于S左半平面，系统稳定 （2）运动形式。如果闭环系统均为实数极点，时间响应为单 调的；如果均为复数极点，则时间响应为振荡的 （3）超调量主要取决于闭环复数主导极点的阻尼角。 （4）调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环极点到虚轴的距 离。 （5）闭环实数零点会减小系统的阻尼比，使系统运动速度加 快，超调量增大，峰值时间提前；极点增大系统阻尼，使峰 值时间滞后，超调量减小。它们的作用，随着其本身接近坐 标原点的程度而加强。 （6） 远离虚轴的偶极子，其影响可以忽略 （7） 主导极点。主导极点对系统性能其主要影响，非主导极点影响可以忽略 例：已知某系统开环传递函数为 若给此系统增设一个开环极点（p=-2），或增设一个开环零点（z=-2）。试分别讨论对系统根轨迹和系统动态性能的影响。 解：附加极点后： 附加零点后： 依据根轨迹的绘制规则，绘出根轨迹 分析 原二阶系统，K从零变到无穷大时，系统总是稳定的； 附加一个开环极点后，K大到一定程度时，有两条根轨迹进入S平面右半部，系统变为不稳定系统。同样的K值情况下，对应的阻尼比 值更小，也就是说系统的超调量变大，调整时间变长，振荡也更加剧。 结论：附加开环极点对系统动态性能不利； 附加一个开环零点后，K从零变化到无穷大时，所有的闭环极点都在S左半平面，系统总是稳定的。而且随着K的增大，闭环极点由两个负实数变为共轭复数，再变为两个负实数，相对稳定性比原系统更好。在相同K值的情况下，对应的阻尼比 值更大，系统的超调量变小，调整时间变短。 结论：附加开环零点对系统动态性能有利。 K1=17 例 4-4 系统性能分析 1．稳定性分析： 当K1=240时，有一对虚根，处于临界稳定，输出等幅振荡。 当K1240时，根轨迹曲线进入S右半平面，系统有一对正实 部的共轭复根，因此系统处于不稳定状态。 当K1240时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在S左半平面，系统是稳定的。 2．稳态性能分析： 系统的开环根迹增益K1与开环放大系数成正比，因此对稳定的系统来说，K1越大，稳态误差越小，稳态性能也越好，但K1 最终不能大于240，否则，系统将出现不稳定状态。 4-4 系统性能分析 3．动态性能分析： 当0K1≤17时，该系统的根为负