[理学]第四章-2 n维向量11.ppt

§2　n维向量 例13. 判断向量组 是否线性相关． 解1: 设有数　　　　使得 即 由此得到齐次线性方程组 对该方程组的增广矩阵进行初等行变换: 由最后的阶梯形矩阵可知该齐次线性方程组有非零解. 从而向量组 线性相关. 实际上, 由上面的阶梯形矩阵所对应的阶梯形方程组 求出一组非零解: 所以向量组 满足 解2： 从而向量组 线性相关. 推论1 　个　维向量 线性相关的充要条件是行列式 * 2.1 n维向量及其线性运算 定义1 数域　上的　个数　　　　　组成的一个有序数组　　　　　　称为一个　维向量．其中第　个数　称为该向量的第　个分量． 向量的表示：一般用小写希腊字母　　　　表示． 例如： 向量的分量一般用拉丁字母　　　　表示． 称其为　维行向量；也可看作　　矩阵．　　 向量也可记为 称其为　维列向量．也可看作　　矩阵． 例如， 例1. 矩阵 都是m维列向量。 都是n维行向量 ； 每一列 下面讨论数域　上　维向量的性质． 定义2 所有分量都是零的向量称为零向量． 记为 记为 　维向量　　　　　　　各分量的相反数组成的向量，称为　的负向量． 定义3 对应的分量相等，即 如果　维向量　　　　　　　与　 则称这两个向量相等．记为 定义4(向量的加法) 设　　　　　　　 则其和定义为 　其差定义为 定义5(向量与数量的乘法) 设　为数域　中的数，数与向量　　　　　　　的乘法定义为 注：向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算. 向量的线性运算满足下述八条运算律： （１） （加法交换律）； （２） （加法结合律）； （３） （４） （５） （数乘分配律）； （６） （数乘分配律）； （７） （数乘结合律）； （８） 其中　　　是　维向量，　是　维零向量，　和　为数域　中的任意数． 设 解: 求向量 例3. 两式相减得 所以 又由 所以 向量间的线性关系 定义6 对于向量组　　　　　和向量　，如果存在　个数　　　　　，使得 则称向量　是向量组　　　　　的线性组合. 或称向量　可以由向量组　　　　　线性表示． 例如 2.2 例5. 　维向量组　　　　　　 例6. 向量组　　　　　中的任一向量　　　　　 称为 维单位向量组. 任一 维向量 都可以由 线性表示 都可以由这个向量组线性表示： 例4. 　维零向量　　　　　　 是任一 维向量组 的线性组合 例7. 线性方程组　　　　　 (1) 的系数矩阵为 A的第j列和方程组的常数项可以用列向量表示为：　　　　 向量组　　　　　称为矩阵　的列向量组． 它称为方程组(1)的向量形式． 从而方程组(1)可以写成下述形式：　　　　　 反之，如果存在数　　　　　使得上式成立，则 　　　　　　　　　就是方程组(1)的一组解． 注：　可以由　　　　　线性表示　　　(1)有解.　　　　 如果方程组(1)有解　　　　　　　　　　则有 这说明向量　可以由向量组　　　　　 线性表示． 定理1 向量 能由向量组 线性表示的 充分必要条件是 矩阵 的秩等于矩阵 的秩． 例1 证明向量 能由向量组 线性表示，且写出它的一种表示方式． 证明 故向量 能由向量组 线性表示． 取 ，得一解 故 又,以B为增广矩阵的非齐次线性方程组的同解方程组为： 练习. 设　　　　　 判断向量　是否可由向量组　　　　线性表示．如果可以，试写出它的一种表达式．　　　　　 解 故向量 能由向量组 线性表示． 又,以B为增广矩阵的非齐次线性方程组的同解方程组为： 为得到它的一种表达式，令　　　则 故 定义 对于向量组　　　　　　如果存在不全为零的数　　　　　使得 (2) 则称向量组　　　　　　线性相关． 否则，称向量组　　　　　线性无关．即 当 时， 线性无关． 例9. 含有零向量的任一向量组都线性相关． 证明： 设此向量组为　　　　　　则对　　　，有 故该向量组线性相关． 证明： 设　　　　　　　　　如果 则必有　　　所以单个的非零向量线性无关． 例10. 单个非零的　维向量线性无关． 1.单个向量：零向量线性相关；非零向量线性无关。 2.两个向量：对应分量成比例线性相关；否则线性无关。 3.两个以上向量：用定义性质判定。 线性关系的几个重要结论: 注意： 例11. 试证：　维基本单位向量组 证明： 设有数　　　　　使得 即 线性无关。 由此可知，只有当　　　　　　　　　时，才有 所以向量组　　　　　线性无关． 例12. 如果向量　　　　线性无关，证明向量组 也线性无关． 证明： 设有数　　　　使