[理学]第四章根轨迹1-.ppt

本章主要内容 根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制规则 利用根轨迹分析控制系统 基本要求 1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念。 2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)。熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益。 3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。 4.正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响。能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算。 5.了解绘制广义根轨迹的思路、要点和方法。 4.1 根轨迹与根轨迹方程 例 如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为： 从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化而变化。例如，设 二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 如图所示系统闭环传递函数为 将前向通道传递函数G（s）表示为： 为前向通道增益， 为前向通道根轨迹增益 可得出以下结论 三、根轨迹方程 根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表示出开 传递函数与闭环极点的关系。 设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定n≥m，这时式（4－12）又可以写成： 注意 例 按照公式得 以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线 对应的开环传递函数 例 法则一，有两条根轨迹 法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、－2，一条终于有限零点－1，另一条趋于无穷远处。 法则四，在负实轴上，0到－1区间和－2到负无穷区间是根轨迹。 定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。 若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。 若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个会合点。 分离会合点的坐标d可由下面方程求得 例 例 解；根据根轨迹绘制法则，按步计算： n=4，有四条根轨迹； 起始于开环极点0，-20，-2-j4, -2+j4，终于无穷远处； 实轴上的根轨迹在（0，-20）区间； n=4,m=0,则有4条根轨迹趋于无穷远，它们的渐近线与实轴的交点和夹角为 根轨迹的起始角。 根轨迹与虚轴交点。 此时特征方程为 小结 绘制根轨迹的规则 4.2.9 闭环极点的和与积 设控制系统特征方程 的n个根为 ，则有： 在已知某些较简单系统的部分闭环极点的情况下，可容易地确定其余闭环极点在[s]平面上的分布位置以及对应的参数值k。 [例]已知系统的特征方程为 根轨迹与虚轴相交时的两个闭环极点为 ,系统的 试确定与之对应的第三个闭环极点s3及参数kc。 [解] 由方程 4.2.10 放大系数的求取 ●根轨迹上的点所对应的参数 的求法： 对应根轨迹上确定的点 ，有： 表示 到全 部开环极点与开环零点的几何长度。无零点时，上式 分母取1。 ●根据参数值 求取开环放大系数： 0型系统： 1型系统： 2型系统： 若系统无有 限开环零点， 计算开环放 大系数时取： 根轨迹作图步骤 一、标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺； 二、确定实轴上的根轨迹； 三、画出n-m条渐近线； 四、计算根轨迹的出射角、入射角； 五、计算根轨迹与虚轴的交点； 六、计算根轨迹的分离点、会合点； 七、利用前几步得到的信息绘制根轨迹。 注意：在判断大致形状时，需知道根轨迹的支数、连续性和对称性。 ⒊渐近线 [例]开环传递函数 ，画根轨迹。 解：⒈求出开环零极点，即： ⒉实轴上的根轨迹： (－∞，0] -8 -6 -4 -2 0 2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 ⒌求与虚轴的交点 ⒋出射角 特征方程为： 将 代入得： ⒍求分离会合点 由特征方程得： 由图知这两点都在根轨迹上，所以都是分离会合点。 -8 -6 -4 -2 0 2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 出射角: 与虚轴的交点: 分离会合点: 已知单位负反馈系统开环传递函数为 试画出 时的闭环系统的概略根轨迹，并求出 时的闭环极点。 已知系统的开环传递函数 试求出根轨迹的渐近线。 极点 解： 零点 (a) (b) (c) (d) 4.2.5 实轴上的根轨迹 规则五 实轴上的根轨迹只能是那些在其右侧开环实数 极点、实数零点总数为奇数的线段。共轭复数开环极 点、零点对确定实轴上的根轨迹无影响。 [证明]：例如在实轴上有两个开环极点p1、p2，复平面上有一对共轭极点p3、 p4和一对共轭零点z1、 z2 。 先看试验点s1点： s1点满足根轨迹相角条件