[理学]第四章： 力学量用算符表示.doc

第四章： 力学量用算符表示 [1]设是的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1） （证明）根据题给的对易式及 （2） （证明）同前一论题 （3） [证明]同前一题论据： （4） [证明]根据题给对易式外，另外应用对易式 （5） （证明）论据同（4）： （6） （证明）论据同（4）： (2)证明以下诸式成立： (1) (证明)根据坐标分角动量对易式 为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x分量。 以及 看到 由于轮换对称性，得到特征的公式。 (2) （证明）证法与（1）类似，但需先证 分量与 分量的对易律 同理可证明其他轮换式，由此得普通式 取待证的公式等号左方的x 分量，并用前一式加以变形： 根据轮换对称性，证明待证式成立。 (3) 注意 与x没有共同坐标。 (4) 注意 没有共同坐标，因此可以对易即 ，故 (3) 为粒子角动量。F为另一力学量，证明： 其中表示空间坐标的梯度，表示动量空间的梯度。 [证明]按照题意 又F可看作坐标，动量的函数，它一般可以表示成 为使证明题给论据清楚，可以先导出两种交换关系，作为后文的准备，设为任意波函数 在前式的最后一项中，当I=x时，可利用莱勃尼兹公式： 当 因此： 现在利用前二式来证明题给一式的x分量的关系成立，该式左方： 86-87 利用（1）和（2）得 同理可得 综合3式得 [4]设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。证明 (甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下： 按题目假设 重复运算n-1次以后，得 （乙法）数学归纳法，待证一式当n=1时，是明显成立的，假设当m=k时该式成立，而k 1，则应有 现在计算 有: 利用前述的假设 但又按题目假设 用于前一式得待证一式。 关于第二个公式也可按相同的步骤证明，不另列述。 但若第一式证实，则亦可从第一式推第二式，注意 88-89 将第一式对易式中两算符对易得 再将文字A，B对易得 （5）证明 （证明）本题的证法与题四的第一法完全相同，只是条件A，B与[A，B]对易一点不能使用，即 从原来的对易式经过总数n-1次运算后，得 取A=q，B=p，注意[q，p]=hi代入前一式后，有 (6)证明 是厄密算符 证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质 是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。 另一方法是根据厄密算符的定义： 用于积分最后一式： 前式= 说明题给的算符满足厄密算符定义。 （7）证 (A 等是实数)是厄密算符 （证明）此算符 F( ) 不能简化，可以用多次运算证明，首先假定已经证明动量是厄密算符，则 运用这个关系于下面的计算： 满足厄密算符的定义。 （8）证明（实数）是厄密算符。 （证明）方法同前题，假定已经证明,都是厄密算符，即： 又按题意得证算符是一维的。 这证明不是厄密算符，但满足 同理可证明 将前二式相加除2，得 因此是厄密算符。 因此也是。 又假定用作为厄密算符的定义，并设 则本题可用较简方式来证明如下： 因为 所以有 同理有 相加除2，得： 这证明右方一式是厄密算符。 （9）证明，若 当大时并不趋于0，则 不一定是厄密算符。 （证明）设 , 是任选的两个函数，适用分步法计算下列积分 继续将后一积分作分步运算，共作n 次，其结果将是： 由此计算可知若大括号里总和为0，则算符 符合厄密算符定义，但按题意 时， 不趋于0，因此我们无法证明大括号里总和为0 [10]证明 其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符。{A,B}是经典力学中的poisson括弧在多变量情形 i=1,2,3......i自由度 （证明）本题意思是要证明等号两边式子等效，但左方是算符式，可以使用自变量 间的对易关系进行变形，为了