[理学]线性代数14.ppt

线性代数第14讲 二次型 二次型就是二次多项式. 在解析几何中讨论的有心二次曲线, 当中心与坐标原点重合时, 其一般方程是 ax2+2bxy+cy2=f (1)方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于研究这个二次曲线的几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程 ax2+cy2=f (2)在二次曲面的研究中也有类似的问题. 6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵 定义1 n元变量x1,x2,...,xn的二次多项式 当系数属于数域F时, 称为数域F上的一个n元二次型. 本章讨论实数域上的n元二次型, 简称二次型. 由于xixj=xjxi, 具有对称性, 若令 aji=aij, ij, (6.2)则2aijxixj=aijxixj+ajixixj(ij), 于是(6.1)式可以写成对称形式 记 X=[x1,x2,...,xn]T. 二次型(6.3)可以用矩阵乘积形式简单表示为 把A称为二次型对应的矩阵, 对于任意一个二次型(6.1), 总可以通过(6.2)使其写成对称形式(6.3), 并对应矩阵A. 由(6.2)知, A为对称矩阵, 又若A,B为n阶对称方阵, 且 f(x1,x2,...,xn)=XTAX=XTBX,则必有A=B. 故二次型和它的矩阵是相互唯一确定的. 所以, 研究二次型的性质转化为研究A所具有的性质. 例1 设 则它的矩阵为 一个二次型XTAX也可看成n维向量a的一个函数, 即 f(a)=XTAX. (6.6)其中X=[x1,x2,...,xn]T是a在Rn的一组基下的坐标向量. 所以二次型XTAX是向量a的n个坐标的二次齐次函数. 因此二次型作为n维向量a的函数, 它的矩阵是与一组基相联系的. 如果a在两组基{e1,e2,...,en}和{h1,h2,...,hn}下的坐标向量分别为 X=[x1,x2,...,xn]T和Y=[y1,y2,...,yn]T,又 [h1,h2,...,hn]=[e1,e2,...,en]C,于是 X=CY. (6.7)如此则有二次型 f(a)=XTAX=YT(CTAC)Y, (6.8)即二次型f(a)在两组基{e1,e2,...,en}和{h1,h2,...,hn}下所对应的矩阵分别为 A 和 CTAC其中CTAC仍是对称阵, YT(CTAC)Y是y1,y2,...,yn的一个二次型. 例2 设向量a在自然基{e1,e2}下的坐标[x1,x2]T满足方程 作基变换, 将e1,e2逆时针旋转45?变为h1,h2即 将(3)式代入(1)式 其中 这样, 我们就把方程化成了在基{h1,h2}的坐标系下的标准方程, 它的图形是一个椭圆. 对于一般的二次型f(x1,x2,...,xn), 将其化为y1,y2,...,yn的纯平方项之代数和(简称平方和), 是研究二次型的一个基本问题. 解决这个问题的基本方法是作一个非退化的线性变换 X=CY,(其中C为可逆阵, 这个变换也可看成向量a在基变换下的坐标变换), 使得 XTAX=YT(CTAC)Y成为y1,y2,...,yn的平方和.这个基本问题, 从矩阵的角度来说, 就是对于一个实对称矩阵, 寻找一个可逆矩阵C, 使得CTAC成为对角形. 定义2 对于两个矩阵A和B, 如果存在可逆阵C, 使得CTAC=B, 就称A合同于B, 记作A?B.由定义容易证明, 矩阵之间的合同关系也具有反身性, 对称性和传递性. 由于合同关系有对称性, 所以A合同于B, 也说成A与B是合同的, 或A,B是合同矩阵. 6.2 化二次型为标准型 本节讨论的问题是: 如何通过非退化线性变换X=CY, 把二次型f(x1,x2,...,xn)=XTAX化为y1,y2,...,yn的平方和, 即为化d1y12+d2y22+...+dnyn2.我们把含平方项而不含混合项的二次型称为标准的二次型. 或称化成的这种标准的二次型称作二次型XTAX的标准型.化二次型为标准型, 就是对实对称矩阵A, 寻找可逆阵C, 使CTAC成对角形. 6.2.1 正交变换法在5.3节讲过, 对于任一个n阶实对称矩阵A, 一定存在正交矩阵Q, 使得QTAQ=L. 由于Q-1=QT, 所以有 QTAQ=diag(l1,l2,...,ln).因此有下面的定理. 定理1(主轴定理) 对于任一个n元二次型 f(x1,x2,...,xn)=XTAX,存在正交变换X=QY(Q为n阶正交矩阵), 使得 XTAX=Y(QTAQ)Y=l1y12+l2y22+...+lnyn2, (6.9)其中l1,l2,...,ln是实对称矩阵A