[理学]线性代数21、22和23.ppt

第二章 向量与线性方程组 * * 2.1向量及其运算 2.2向量的线性关系 2.3向量组与矩阵的秩 2.4齐次线性方程组 2.5非齐次线性方程组 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 定义：n 个有次序的数 所组成的有序数组 称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 个数 称为第 个分量。 以后我们用小写希腊字母 来代表向量。 2.1 向量及运算 一切n维向量所构成的集合用Rn表示 向量通常写成一行： 有时也写成一列： 称为行向量。 称为列向量。 它们的区别 只是写法上 的不同。 分量全为零的向量 称为零向量，记作O。 2. 向量的运算和性质 向量相等：如果 n 维向量 的对应分量都相等，即 就称这两个向量相等，记为 向量加法：向量 称为向量 的和，记为 负向量：向量 称为向量 的负向量 向量减法： 数乘向量：设k为数域p中的数，向量 称为向量 与数k的数量乘积。记为 与矩阵的加减法和数乘运算法则相同，向量的加减和数乘只要把对应分量进行加减和数乘 解 答 向量的加减和数乘运算统称为向量的线性运算， 八条运算律 2.2 向量的线性关系 一般地，向量指列向量 简省空间的记法 解 答 改写成分量等式 向量的线性组合 设 为n维向量， 如果存在 满足 向量组的线性相关性 定义2.5 给定向量组S: 如果存在不全为零 的实数 使 则称向量组S线性相关；否则称S线性无关。 (1) 线性相关的等价叙述 设有n维向量组S： 有非零解 线性相关。 如果方程 否则如果方程只有零解 向量组 线性无关 向量组 在 中，称向量 …… 为n维基本向量。 设 例 讨论向量 的相关性 解 考虑方程 由于方程组 的系数行列式 方程组 只有零解。 线性无关 例2.3：已知向量 线性无关， 证明：向量组 线性无关。 证明 对向量方程 变形得 由于 线性无关，所以 该线性方程组只有惟一的零解，故结论得证。 设向量组 线性无关， 线性相关， 而向量组 则 必能由 线性表示，且表示式是唯一的 证明 设存在不全为零 由无关性即得 定理2.1 定理2.2 向量组 线性相关的充分必要条 件是组内某一向量可由其余向量线性表示 证明 必要性 设向量组 线性相关，则存在 不全为零的数 使得 不妨设 于是有 充分性 不妨设 可由 线性表示，即设 不全为零。 线性相关的一些命题 含有零向量的向量组，总是线性相关的。 2.含有相同向量的向量组，总是线性相关的。 注：单个零向量构成的向量组线性相关。单个非零向量是线性无关的。 3.线性相关的向量组添加若干向量后，仍是线性相关的 设存在不全为零 推论： 线性无关向量组的部分向量组，仍是线性 无关的。（命题3的逆否命题） 反证法： 设线性无关向量组 其中子向量组S线性相关。由此部分向量组S扩充，得到 由命题3， 线性相关。 4.线性无关的向量组中的每个向量扩大同样的维数， 得到的新向量组仍然线性无关 设向量组 线性相关，向量组 线性无关。 讨论题答案 （2） 矩阵的子式的定义 2.3 向量组与矩阵的秩 若A是一个n阶方阵，则A只有一个n阶子式， 就是A的行列式|A|。 是A的一个三阶子式，它A由的第2，4，6行与第1，5，7列交叉 处的元素所构成。 定义2.6 规定零矩阵的秩等于0。 例 求矩阵的秩 解 在A中，容易看出一个2阶子式 A的三阶子式只有一个 经计算可知 因此R(A)=2。 设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有的r+1阶子式（若存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作 定理2.4 m×n矩阵A的m个行向量线性相关的充要条件是 R(A)m 证明略。 推论2.1 任意m（mn）个n维向量线性相关。 推论2.2 m个n维向量线性无关的充要条件是由它们为行向量 级成的m×n矩阵的秩为m（m≤n）。 推论2.3 n个n维向量线性无关（相关）的充要条件是由他们组 成的矩阵行列式不等（等于）零。 定理2.5 矩阵A的秩等于r的充要条件是A中存在r个行向量 线性无关，且任意r+1个行向量（如果存在）线性相关。 证明 由R(A)=r的定义和推论2.3可知，A中存在一个r阶子 式D≠0，而任意一个r+1阶子式都为零。 D≠0的充要条件 是D所在的r个行向量组线性无关，而A中任意一个r+1阶子 式都为零