[理学]线性代数5.ppt

第二章 矩阵 其中θ为x轴与x′轴的夹角，显然，新旧坐标的关系可以通过公式中系数所排成的2x2矩形阵列（数表） 表示出来，这个阵列决定坐标变换性质 例2 含有n个未知量m个方程构成的线性方程组 的系数也可以排列成一个矩形阵列 (2.4) 例3 生产m 种产品需用n种材料，如果以aij表示生产第i种产品(i=1,2,…,m)耗用第j种材料(j=1,2,…,n)的定额，则消耗定额可用一个矩形表表示，如表2.1 所示。这个由m行n列构成的消耗定额表，也可以排成矩形阵列(2.4),它描述了生产过程中产品的产出与投入材料的数量关系，这个矩形阵列称为矩阵。 表2.1 定义1 由mxn个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成 m行n列的数表 叫做m行 n列矩阵，简趁称mxn矩阵。这mxn 个数叫做矩阵A的元素 ，aij叫做矩阵A的第i行第j列的元素。 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵。 上述的矩阵A也简记为 A=(aij)mxn 或 A=(aij) mxn矩阵A也记为Amxn 两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们是同型矩阵； 若A=(aij)mxn与B=(bij)mxn是同型矩阵，并且它们对应元素相等，即 那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B 当行数m与列数n相等时,A称为n阶方阵； 单位矩阵 n阶方阵 叫作n阶单位矩阵，简记为E或En 特点：从左上角到右下角的直线（叫左对角线)上的元素都是1，其他元素都是0 对角矩阵 n阶方阵 叫作对角矩阵 特点：不在主对角线上的元素都是0 数量矩阵 n阶方阵 叫作数量矩阵 特点：主对角线上的元素都相等，其他元素都 是0 上三角矩阵 n阶方阵 叫作上三角矩阵 特点：位于主对角线下方的元素都是0 下三角形矩阵 n阶方阵 叫作下三角形矩阵 特点：位于主对角线上方的元素都是0 只有一行的矩阵 叫做行矩阵； 只有一列的矩阵 称为列矩阵。 一、矩阵的加法 定义2 两个m行n列矩阵A=(aij)mxn ，B =(bij)mxn 对应位置相加得到的m行n列的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记为A+B，即 注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。 矩阵加法的运算律： （1） （2） 设矩阵A=(aij) ，记-A=(-aij)称为矩阵A的负矩阵,显然有 由此规定矩阵的减法为 二、数与矩阵相乘 定义3 以数λ乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵称为数λ与矩阵A的积，记作λA或Aλ，如果A=(aij)mxn ，那么 数乘矩阵的运算规律： （1） （2） （3） 注意： 矩阵的数乘与行列式的数乘是不一样的，矩阵的数乘是数乘矩阵每一个元素，行列式的数乘是数乘行列式的某行（某列）的每一元素。 三、矩阵的乘法： 定义4 设A=(aij) 是一个mxs矩阵， B=(bij) 是一个sxn矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个mxn矩阵 C=(cij) ，其中 并把此乘积记作C=AB 注意 (1) 只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘 (2)乘积的第i行第j列的元素等于左矩阵 的第i行元素与右矩阵第j列的对应元素的乘积之和。