[理学]线性代数6-二次型自编.ppt

思考题 1 思考题1 解答 令 则 且 令 x = Py, 则 f 的标准形为 可逆变换(且为正交变换)为 配方法 主要内容 初等变换法 第 三 节 用配方法化二次型成标准形 和初等变换法. 用正交变换化二次型成标准形, 具有保持几 何形状不变的优点. 如果不限于用正交变换, 那么 还可以有多种方法(对应有多个可逆的线性变换) 把二次型化成标准形. 这里介绍拉格朗日配方法 下面举例来说明这两种方法. 例 4 用配方法化二次型 成标准形, 并求所用的变换矩阵. 解 由于二次型中没有变量的平方项, 故针 性变换以产生变量的平方项: 对某个交叉乘积项, 如 2x1x2 作如下的可逆的线 一、配方法 则原二次型变为 由于新变量的二次型中含有平方项, 如 y12 或 y22 , 并注意到, 二次型中除 y22 外其它项中不含变量 y2 , 所以, 将所有含 y1 的项配成完全平方: 令 即 则二次型化成标准形 所用矩阵为 二、初等变换法 引理 对 n 阶实对称矩阵 A , 存在初等矩阵 P1 , P2 , … , Ps , 使得 PsT(… (P2T(P1TAP1)P2)…)Ps = diag(?1 , ?2 , … , ?n). PTAP = diag(?1 , ?2 , … , ?n). 我们可以将实对称矩阵 A 看作是实二 次型 xTAx 的矩阵. 而对实二次型 xTAx, 一定存 在可逆线性变换 X = PY, 使之成为标准形, 即 证明 又 P 可逆, 所以矩阵 P 可表示成有限个初等矩阵 的乘积, 设 P = P1P2 … Ps , 其中 P1 , P2 , … , Ps 为初等矩阵, 则 ? = PsT(… (P2T(P1TAP1)P2)…)Ps . PT = PsT … P2TP1T , 因而 证毕 一对相应的初等变换. 注意到初等矩阵 Pk 与 PkT 是同种类型的初等 矩阵. 矩阵 A 右乘 Pk , 左乘 PkT 相当于对矩阵 A 施行了一次初等列变换与一次对应的初等行变换 (例如, 若 Pk 为交换矩阵的第 i 列与第 j 列所对应 的初等矩阵, 则 PkT 可看作交换矩阵的第 i 行与第 j 行所对应的初等矩阵), 称之为对矩阵 A 施行了 换: Step1 : 构造矩阵 其中 A = (aij)n×n 为二次型的矩阵, E 为 n 阶单位 另外, 如果矩阵 A 经过有限次的各对相应的 初等变换变为对角矩阵, 则单位矩阵 E 经过同样 的初等列变换变为矩阵 P . 因而, 可以用下面的 方法将二次型化为标准形, 并求出所用的初等变 矩阵. 第 j 行加至第一行, 并将 C 的第 j 列加至第一列, Step2 : 如果 a11 ? 0, 则将 A 的第一行的适 当倍数加到 A 的其余各行, 使 A 的第一列的其余 元素都变为零, 施行一次同样的初等列变换. 由于 A 为对称矩阵, 这样变换后, A 的第一行的其余元素也必变为零. 如果 a11 = 0 , 但存在某个 a1j ? 0 , 则将 A 的 每作一次初等行变换时, 对矩阵 C 可用下面的分块矩阵表示上述结果: 使 C 的第一行第一列的元素不为零, 为简单起见, 仍记 C 中与矩阵 A 对应的子块为 A. 再用上面的 方法将矩阵 A 的第一列与 C 的第一行其余元素 都变为零. 其中, A1 是 n - 1 阶实对称矩阵, 单位矩阵 E 经过 Step 3 : 用同样的方法变换矩阵 矩阵 则X = PY 即为所作的非退化的线性 经过有限次的初等变换, 必可将矩阵 化成 变换. 块形式相应的形式 (R1 , R2) . 上述初等列变换后所变成的矩阵写成了与A 的分 例 5 用初等变换法将二次型化为标准形, 并求出所用的线性变换. 解 二次型的矩阵为 构造矩阵 C 对 C 施行初等变换, 使 A 变成对角矩阵, 则 E 变 初等变换 成变换矩阵 P. 所以标准形为 所用线性变换为: X = PY , 其中 例 6 用初等变换法将二次型化为标准形, 并求出所用的线性变换. 解 二次型的矩阵为 构造矩阵 C 初等变换 所以标准形为 所用线性变换为: X = PY , 其中 主要内容 正定二次型的定义 第 四 节 正定二次型 正定二次型的条件 举例 定义 3 设有实二次型 f(x) = xTAx, 如果 二次型, 并称对称矩阵 A 是负定的. 如果对任何 x ? 0 都有 f(x) 0, 则称 f 为