[理学]线性代数§35.ppt

* 设线性方程组 若记 则上述方程组可写成矩阵方程 Ax = b. §3.5 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构 若将矩阵 A 按列分块为： 上述方程组可写成向量方程 称 Ax＝0为非齐次方程组 Ax = b 所对应的齐次线性 方程组（的导出组）. 线性方程组Ax=b有解 ?向量b能由向量组?1, ?2, ··· ,?n线性表示 ?向量组?1, ?2, ··· ,?n与向量组?1, ?2, ··· ,?n, b等价 ?矩阵A=(?1, ?2, ··· ,?n)与矩阵B=(?1, ?2, ··· ,?n, b)的秩相等. 即 r (A) = r ( A，b) 由此得到： 一、非齐次线性方程组有解的条件 定理1：对于非齐次线性方程组 Ax = b，下列命题等价 (ⅰ) Ax = b 有解（或相容）； (ⅱ) b 可由 A 的列向量组线性表示； (ⅲ) 增广矩阵( A，b )的秩等于系数矩阵A的秩； 有唯一解， b可由 线性表示，且表示方法唯一， 线性无关 于是得到： 推论： Ax＝b有唯一解的充要条件是 r (A, b) = r(A) =A 的列数. 或： Ax＝b有唯一解的充要条件是 且 小结： n元线性方程组Am?n x = b (1) 无解的充分必要条件是R(A)R(B); (2) 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(B)=n; (3) 有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(B)n. 二、非齐次线性方程组解的结构 证明: 因为 A?1=b, A?2=b, 1. 非齐次线性方程组解的性质 (1) 设 x=?1 及 x=?2 都是方程组 Ax=b 的解, 则 x=?1–?2为对应齐次方程组Ax=0的解. 所以 A(?1–?2) = A?1–A?2 = b – b = 0. 故, x=?1–?2为对应齐次方程组Ax=0的解. (2) 设 x=? 是方程组 Ax=b 的解, x=? 是方程组 Ax=0 的解, 则 x=?+? 仍为方程组 Ax=b 的解. 证明: 因为 A?=b, A?=0, 所以 A(?+?) = A? +A? = 0 + b = b. 故, x=?+? 为方程组 Ax=b 的解. 2. 非齐次线性方程组的通解 其中 k1?1+k2?2+···+kn-r?n-r 为对应齐次线性方程组Ax=0的通解, ?*为非齐次线性方程组Ax=b的任意一个特解. 若非齐次线性方程组Ax=b有解，则其通解为: x = k1?1 + k2?2 + ··· + kn-r?n-r +?*. 非齐次方程的通解 ＝齐次方程的通解＋非齐次方程的特解. 首先，由性质2可知 x = k1?1 + k2?2 + ··· + kn-r?n-r +?* 是 Ax = b 的解. 其次，设?是 Ax = b的任一解，而 其中? --?* 是齐次线性方程组Ax=0的解，从而结论成立. 求解线性方程组Ax = b的步骤过程归纳如下: 1. 对非齐次方程组Ax = b, 将其增广矩阵B=(A | b)化为行阶梯形后, 可以看出R(A)=R(B)是否成立, 若不成立, 则方程组无解. 2. 若R(A)=R(B)成立, 则方程组有解. 进一步将B化为行最简形. 3. 设R(A)=R(B)=r, 把行最简形中r 个非零行的第一个非零元所对应的未知量取作基本未知量, 其余n–r个未知量取作自由未知量, 对自由未知量分别取值 ，由A的行最简形写出齐次方程的基础解系, 由B的行最简形写出非齐次方程的特解，最后写出非齐次方程的通解. 例1: 求解非齐次线性方程组 解: 对增广矩阵（A，b）进行初等行变换, r2–3r1 r3–2r1 r3–r2 显然, r(A)=2 r(A，b)=3, 故方程组无解. 例2: 求解方程组 解: 对增广矩阵（A，b）施行初等行变换: 可见r(A)=r(A,b)=2, 故方程组有无穷多解, 并且 故, 原方程组等价于方程组 进而可得 得方程组的通解为: 其中k1, k2, k3 ?R. 令 例2: 求解方程组 解: 对增广矩阵(A,b)施行初等行变换: 可见r(A)=r(A,b)=3, 故方程组有解, 并有 即得方程组的通解 例3：设A是m?3矩阵, 且R(A)=1, 如果非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量?1, ?2, ?3 满足 求Ax=b的通解. 解： 由于A是m?3矩阵, 且R(A)=1, 所以, Ax=0 的基础解系中含有 3–1=2 个线性无关的解向量. 令?1+?2=?, ?2+?3=? , ?3+?1=? , 则 为