[理学]线性代数§61.ppt

第六章 二次型 f =2x1x2+2x1x3–2x1x4–2x2x3+2x2x4+2x3x4 例2: 求一个正交变换x=Py, 把二次型 化为标准形. 解: 二次型的矩阵为 A的特征多项式为 计算特征多项式: 把二, 三, 四列都加到第一列上, 有 把二, 三, 四行分别减去第一行, 有 从而得A的特征值: ?1=–3, ?2=?3=?4=1. 当?1= –3时, 解方程组(A+3E)x=0, 得基础解系: * 二次型就是二次齐次多项式 . 如： 和 的左端均是二次型， 分别表示平面上的圆和椭圆，且主轴和坐标轴重合. 一般地，中心与坐标原点重合的有心二次曲线的方程是 其左端也是一个二次型，但是它表示的平面图形是 什么呢？ 若将上述方程化成标准形式的方程（只含平方项， 不含交叉项），则容易看出. 二次型的基本问题： 把一般的二次齐次多项式化为 只含纯平方项的代数和（的形式）. 解决基本问题所利用的工具： 矩阵 §6.1 二次型的定义和矩阵表示 合同矩阵 一、二次型的概念 定义: 含有n个变量x1, x2, ···, xn的二次齐次多项式 称为二次型. 当aij 是复数时, 称 f 为复二次型. 当aij 是实数时, 称 f 为实二次型. 本章主要讨论实二次型. 二、二次型的表示方法 对二次型 1. 用和号表示 取aji = aij , 则 2aij xi xj = aij xi xj + aji xjxi , 于是 =a11x12+a12x1x2 +···+a1nx1xn +a21x2x2 + a22x22+···+a2nx2xn +··· ··· +an1xnx1+an2xnx2+ ···+ann xn2 f(x1, x2, ···, xn) 2. 用矩阵表示 =x1(a11x1+a12x2 +···+a1nxn) +x2(a21x2+a22x2+···+a2nxn) +··· +xn(an1x1+an2x2+ ···+ann xn) f(x1, x2, ···, xn) 则二次型可记作 f = xTAx, 其中A为对称矩阵. 若记 称对称矩阵 A 为二次型 f 对应的矩阵. 只含平方项的二次型对应的矩阵为 对角阵 在二次型的矩阵表示中, 反之,任给一个二次型，也就唯一地确定一个对称矩阵： 任给一个对称矩阵, 可唯一地确定一个二次型 ； 即若 且A，B为对称矩阵，则A＝B。 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵, f 叫做对称矩阵 A的二次型, 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩. 研究二次型的性质可以转化为研究对称矩阵A的性质. 基本问题： 将实对称矩阵化为对角阵 由以上分析可得： 二次型与对称矩阵之间存在 一一对应的关系． 例1: 写出二次型 f =x12+2x22–3x32+4 x1x2–6x2x3 的矩阵. 解:由 f =x12+2x22–3x32+4 x1x2–6x2x3, 得 a11=1, a22=2, a33= –3, a12=a21=2, a13=a31=0, a23=a32= –3. 所以 设 在一组基下的坐标为 可将二次齐次多项式 看作 的函数，即有 因为向量 在不同基下的坐标是不相同的，所以 的矩阵是与基有关的. 设 在两组基 和 下的 坐标分别为 且 则 于是 即 在两组基下的矩阵分别为A和 其中 是 的一个二次型； 其中 是 的一个二次型； 例2：设向量 在基 下的坐标 满足方程 作基变换，将 逆时针旋转 变为 在基 下的坐标 所满足的方程. 求向量 解：由条件可知： 于是向量 在基 下的坐标 满足 从而 因为 所以 于是 所求方程为 椭圆 解决基本问题的思路： 作可逆线性变换 （C 可逆），使得 从矩阵的角度看： 对于实对称矩阵A，寻找可逆阵C，使得 为对角阵. 三、合同矩阵 定义：对两个方阵A和B，若存在可逆阵C，使得 则称A合同于B，记作 （1）合同关系是等价关系 （2）当矩阵A与B合同时，也称它们对应的二次型合同 （3） A与B相似 A与B相抵， 反之不对！ A与B合同 A与B相抵， 反之不对！ 若A与B均为实对称矩阵，则 A与B相似 A与B合同， 反之不对！ 例3：设有矩阵 问其中哪些相似，哪些合同，为什么？ 答：B与C合同，不相似；A与B相似，也合同； A与D合同，但不相似！ §2 化二次型为标准形 　　对于二次型, 我们讨论的基本问题是: 寻求可逆的线性变换x＝Cy, 将二次型化为标准形. 只含平方项的二次型称为二次型的标准形. 或：对于实对称矩阵A，寻求可逆阵C，使得 为对角阵. 如何找矩阵C？ 一、