[理学]线性代数人大版第10讲.ppt

线性代数 线性代数第10讲 向量组与其部分组的线性相关性 定理3.10 若向量组A的一个部分组向量组P线性相关, 则向量组A也线性相关. 推论3.11 若向量组A线性无关, 则向量组A的任意一个部分组向量组P也线性无关. 向量组与其延长向量组的线性相关性定义3.8 设向量组A: 如果给每一个向量都添加m(1?m)个分量而得到一个新的向量组B: 定理3.12 若向量组A线性无关, 则延长向量组B也线性无关. 故延长向量组B也线性无关. 推论3.13 若向量组A的延长向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关. §3 向量组的秩 定理3.14 如果向量组a1,a2,?,as可由向量组b1,b2,?,bt线性表示, 并且st, 则向量组a1,a2,?,as线性相关.这个定理的意思是说, 如果由数量少一些的向量线性组合出数量更多一些的向量, 则这些数量更多一 些的向量构成的向量组, 必然是线性相关的. 证明 要证明a1,a2,?,as线性相关, 只需找到一组不全为零的数l1,l2,?,ls使得: l1a1+l2a2+?+lsas=0, 即 由已知向量组a1,a2,?,as可由b1,b2,?,bt线性表示, 即存在矩阵Kt?s使得 (a1,a2,?,as)=(b1,b2,?,bt)Kt?s.在等式两端右乘 所以, 只要能找到一组不全为零的数l1,l2,?,ls, 使得 就证明了(3.6)式. 注意到齐次线性方程组(3.7)中方程的个数t小于未知量的个数s, 即R(K)?ts, 则它必有非零解. 即一定能找到一组不全为零的数l1,l2,?,ls使得(3.7)式成立, 从而(3.6)式也成立. 另类证明: 设矩阵A=(a1,a2,…,as), 矩阵B=(b1,b2,…,bt), 考察分块矩阵C=(B,A)=(b1,…,bt,a1,a2,…,as)因为a1,…,as都可由b1,…,bt线性表示, 因此C的后s列一定可以通过初等列变换被前t列消成零, 例如, 假设a1=b1b1+…+btbt, 则将C中第1列乘-b1,第2列乘-b2,…,第t列乘-bt加到第t+1列,就将第t+1列的a1消成0了. 因此必有(B,A)→(B,O), 因此R(A)?R(B,A)=R(B)?ts, 因此a1,…,as线性相关. 推论3.15 如果向量组a1,a2,?,as可由向量组b1,b2,?,bt线性表示, 并且向量组a1,a2,?,as线性无关, 则s?t.证明 用反证法即可. 推论3.16 任意n+1个n维向量必线性相关.证明 显然, 任意一个n维向量a=(a1,a2,?,an)T均可由n维基本单位向量e1,e2,?,en线性表示, 从而每一个含n+1个n维向量的向量组都可由含n个向量的向量组e1,e2,?,en线性表示, 由定理3.14, 任意含n+1个n维向量的向量组必线性相关. 推论3.16 任意n+1个n维向量必线性相关.另类证明 对任意n+1个n维向量a1,a2,…,an+1, 令A=(a1,a2,…,an+1), 则A为n行,n+1列矩阵, 必有R(A)?nn+1, 因此a1,a2,…,an+1必线性相关. 推论3.17 如果向量组a1,a2,?,as和向量组b1,b2,?,bt都线性无关, 并且可以相互线性表示, 则s=t.证明 由已知, 向量组a1,a2,?,as线性无关并且可由向量组b1,b2,?,bt线性表示, 根据推论3.15, s?t. 同理可得, t?s. 所以s=t. 一般来说, 一个向量组的极大线性无关组并不是唯一的. 但由定义可以看出:(1) 向量组V与其任意一个极大线性无关组是相互等价的;(2) 由向量组等价的传递性可知, 向量组V的任意两个极大线性无关组相互等价;(3) 根据推论3.17, 向量组V的每一个极大线性无关组所含向量的个数总是相等的.由此可见, 一个向量组的任意一个极大线性无关组所含向量的个数是向量组本身固有的一个量. 定义3.10 向量组V的任意一个极大线性无关组所含向量的个数, 称为这个向量组的秩, 记为R(V).如果一个向量组只含有零向量, 则它没有极大线性无关组, 此时我们规定它的秩为零. 容易看到, 零向量组, 也只有零向量组的秩才是零. 推论3.18 如果向量组A可由向量组B线性表示, 则R(A)?R(B).证明 记A0,B0分别为向量组A和向量组B的极大线性无关组, 则有如下的线性表示关系:A0?A?B?B0. 由线性表示的传递性知, 向量组A0可由向量组B0线性表示, 而向量组A0线性无关, 由推论3.15得向量组A0中向量的个数小于等于向量组B0中向量的个数, 即R(A)?R(B). 推论3.19 如果向量组A和向量组B等价, 则R(A)=R(B).