[理学]线性代数第二章A.ppt

第二章 向量空间 2.1 n维向量空间 2.2 线性相关性 2.3 向量组的秩 2.4 子空间 2.5 欧式空间 2.6 线性方程组解的结构 2.1 n 维向量空间 定义2.1 n个数构成的有序数组 称为一个n维向量，其中第i个数ai 称为这个向量的第i个分量. 用小写的希腊字母 等表示向量空间 行向量： 列向量： Question 知道两个或多个向量，如何定义两个向量相 等？ 定义 2.2 如果n维向量 的对应分量都相等，即 就称这个两个向量是相等的，记作 上面我们学习了n维向量的定义和n维向量相等 的概念 下面来学习一下如何进行n维向量的运算 定义2.3 (1) 加法 设 是两个n维向量，规定 称为 的和 (2) 向量与数的乘法(简称数乘) 设k是一个数，规定 称为 与 的数量乘积. 线性运算：向量的加法和数乘. 向量的加法满足 交换律： 结合律： 零向量：分量全部为零的向量 负向量 满足 向量的减法： 向量的数乘： 向量的数乘与加法满足： 向量运算的性质： 上面就是我们学习的线性运算的一些性质 下面我们再来学习一个重要的定义： n维向量空间 定义2.4： 用Rn表示n维向量全体构成的集合，在其中可以进行线性运算，称为n维向量空间. 当n=3时，三维向量空间就可以认为是一个三维几何空间. 上面我们介绍向量空间的一些性质， 线性相关性. 线性表出. 2.2 线性相关性 定义2.5: 设 都是n维向量.如果 可以表示成： 则称 是 的一个线性组合， 或称 可以由 线性表出. 如果向量 可由向量 表示： 成比例. 下面我们再来看一下 n维基本向量的概念. 设n维向量 则 所以 是 的一个线性组合. 称为n维基本向量. 例2.4 设 问 能否由 线性表出？ 要判断一个n维向量 能否由 线性表出，需要解一个线性方程组 这就转化到第一章所学习的内容 下面我们来学习一下如何建立这个线性方程组 设 求 使得 线性方程组 根据第一章所学到的知识 线性方程组解有三种情况： (1) 无解 (2) 唯一解 (3) 无穷多解 能否由 线性表示 也有三种情况： (1) 不能表示 (无解) (2) 唯一表示 (唯一解) (3) 无穷多种情况 (无穷多解) 下面我们再介绍一个重要的概念： 线性相关 线性相关是由前面的线性组合或线性表出演变 而来 定义2.6 设 是一组维数相同的向量.如果有不全为零的数 使得 则称向量组 线性相关. 其实线性相关可以看成是一个零向量由一组向 量线性表出. 线性相关对应于齐次线性方程组的情况 齐次线性方程组对应两种解的情况： (1) 零解 (线性无关) (2) 无穷多解 (线性相关) 例2.7 向量组 向量组的线性相关性，有以下几个重要的结论： (1)包含零向量的向量组一定是线性相关的. (2) N个n维基本向量 是线性无关的. 上面我们学习了线性相关性的概念， 同学们我们再来学习什么是线性无关？ 定义2.7 如果向量组 不是线性相关的，就称是线性无关的. 也就是说，如果等式 只有当 时才成立， 就称 是线性无关的. 这时齐次线性方程组对应于只有零解的情况 对 讨论下列矩阵的秩 n维向量定义 行向量 列向量 向量相等 向量的加法 向量的数乘 零向量 负向量 n维向量空间 线性表出 n维基本向量 线性相关 线性无关 例2.8 设 问 是否线性相关. 例2.9 设 判断 是否线性相关. 线性