[理学]线性代数第五章相似矩阵.ppt

* * 第五章相似矩阵 一、内积的定义与性质 1、定义 设ｎ维实向量 称实数 为向量α与β的内积，记作 注：内积是向量的一种运算,用矩阵或向量形式表示,有 ２、性质 （1）对称性： （2）线性性： （3）正定性： １、长度的概念 当且仅当 时 二、向量的长度与夹角 令 为ｎ维向量α 的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量. （1）正定性： （2）齐次性： （3）三角不等式： ２、性质 （4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式: 当且仅当α与β的线性相关时，等号成立. 注 ①当 时， ②由非零向量α得到单位向量 是α的单位向量. 称为把α单位化或标准化. 的过程 ３、夹角 设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹 角的余弦为 因此α与β的夹角为 例 解 练习 三、正交向量组 1、正交 当 ，称α与β正交，记作α⊥β。 注 ① 若 　　，则α与任何向量都正交. ② ③ 对于非零向量α与β， 2、正交组 若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则 这个向量组称为正交向量组，简称正交组. 3、标准正交组 由单位向量组成的正交组称为标准正交组. 定理 4、性质 正交向量组必为线性无关组,但反之则不一定成立. 定理 若向量β与 β与 中每个向量都正交，则 的任一线性组合也正交. 5、正交基 若正交向量组 则称 为向量空间Ｖ上的一个正交基. 为向量空间Ｖ上的一个基， 6、标准正交基 若标准正交组 则称 为向量空间Ｖ上的一个标准正交基. 为向量空间Ｖ上的一个基， 7、施密特（Schmidt）正交化法 设 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空 间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单 位向量 ，使 与 等价， 此问题称为把 这组基标准正交化. 1）正交化 令 就得到Ｖ的一个标准正交向量组. Ｖ的一组标准正交基. 如果 上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法. 2）标准化 令 是Ｖ的一组基，则 就是 注 则 两两正交，且与 等价. 上述方法中的两个向量组对任意的 与 都是等价的. 四、应用举例 例1 证明：　中，勾股定理 成立 的充要条件是　　正交. 解 所以 成立的充要条件是 即　　正交. 已知三维向量空间中， 例2 正交， 试求 是三维向量空间的一个正交基. 解 设 则 即 例4 已知向量 求　的一个标准正交基. 解 设非零向量　　都于　正交， 即满足方程 或 其基础解系为 令 1）正交化 令 2）标准化 令 五、正交矩阵和正交变换 1、定义 如果ｎ阶方阵A满足： 则称Ａ为正交矩阵. 则 可表示为 若Ａ按列分块表示为Ａ＝ 亦即 其中 ① Ａ的列向量是标准正交组. 的一个标准正交基. 正交矩阵Ａ的ｎ个列（行）向量构成向量空间 2、正交矩阵的充要条件 ② Ａ的行向量是标准正交组. 注 3、正交变换 若Ｐ为正交矩阵，则线性变换ｙ=Ｐｘ称为正交变换. 设ｙ=Ｐｘ为正交变换，则有 经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变, 注 从而夹角保持不变. 判断下列矩阵是否为正交矩阵. 不是 不是 是 是 课前复习 １、内积 ２、长度 ３、夹角 ４、正交 ５、施密特（Schmidt）正交化法 ６、正交矩阵和正交变换 其中Ｐ为正交矩阵． 正交变换的优良特性： 内积不变 夹角不变 长度不变 一、特征值与特征向量的概念 定义 Ａ为ｎ阶方阵，λ为数， 为ｎ维非零向量， 若 则λ称为Ａ的特征值， 称为Ａ的特征向量． （１） 注 ②　　　并不一定唯一； ③　ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组 ①　特征向量　　 ，特征值问题只针对与方阵； 有非零解的λ值，即满足 的λ都是方阵Ａ的特征值． 定义 称以λ为未知数的一元ｎ次方程 为Ａ的特征方程． 定义 称以λ为变量的一元ｎ次多项式 为Ａ的特征多项式． 定理 设ｎ阶方阵　　　　的特征值为 则 证明① 当　　　　　是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项 式可分解为 令 得 即 证明② 因为行列式 它的展开式中，主对角线上元素的乘积 是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至 多含ｎ－２个主对角线上的元素， 含　　　　的项只能在主对角线上元素的乘积项中． 故有 比较①，有 因此，特征多项式中 定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹. 二、特征值和特征向量的性质 推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆?Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值， 则　 为　 的特征值． 推论２ 则　 为　 的特征值． 推论３ 则　 　为　 的特征值． 推论４ 则　 为　 的特征值． 推论５ 特别 单位阵Ｅ的一个特征值为１． 记为 三、应用举例 １、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则 的一个特征值为（　　） ２、证ｎ阶方阵Ａ的满足　　　，则Ａ的特征值为 ０或１． ３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，