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考虑阻尼的振动模型 y ky k m P(t ) P(t ) y 动平衡方程： 1、有阻尼的自由振动 ( 阻尼比damping ratio ） ) 1 ( 2 - ± - = x x w l 0 2 2 2 = + + w xwl l ) ( = l t Ce t y 设解为： 特征方程为： (characteristic equation) 1)ξ1（低阻尼）情况 .. . .. . . .. c ae-ξωt t y t y 低阻尼y- t曲线 无阻尼y- t曲线 ①阻尼对自振频率的影响. 当ξ0.2,则0.96ωr/ω1 在工程结构问题中0.01ξ0.1 可近似取. ②阻尼对振幅的影响. 振幅ae-ξωt 随时间衰减.相邻两个振幅的比 振幅按等比级数递减. 称为振幅的对数递减率. (logarithmic decrement) 设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则: 经过一个周期后,相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为: 2)ξ=1（临界阻尼）情况 ) 1 ( 2 - ± - = x x w l = -w l t y y0 θ0 这条曲线仍具有衰减性， 但不具有波动性。 工程中常用此方法测定阻尼 EI=∞ m 例题：图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共计为m 9.8kN ，加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 解： = = w x k 2 = w x m c 2 = w w x m 2 2 返回 临界阻尼常数cr是ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点） (critical damping coefficient) 阻尼比。反映阻尼 情况的基本参数。 3)ξ1 强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。 2、有阻尼的强迫振动 ①单独由v0引起的自由振动： （低阻尼体系，ξ1） ②瞬时冲量dS=Pdt=v0m所引起的振动，可视为 以v0=Pdt/m， y0=0为初始条件的自由振动： ③将荷载P(t)的加载过程 看作一系列瞬时冲量 ④总反应 P(t) t τ t 1=cr （1）突加荷载P0 低阻尼y- t曲线 无阻尼y- t曲线 yst y(t) ωt 0 π 2π 3π 4π 5π y(t) ωt 0 π 2π 3π 4π 5π 静力平衡位置 具有阻尼的体系在 突加荷载作用下， 最初所引起的最大 位移接近于静位移 yst=P0/mω2的两倍， 然后逐渐衰减，最 后停留在静力平衡 位置。 （2）简谐荷载P(t)=Fsinθt 设特解为：y=Asinθt+Bcosθt 代入（17-34）得： +{Asinθt+Bcosθt} 齐次解加特解得到通解： 自由振动，因阻尼作用， 逐渐衰减、消失。 纯强迫振动，平稳振动， 振幅和周期不随时间而变. 结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯 强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。 y=Asinθt+Bcosθt=yPsin(θt－α) 振幅:yp，最大静力位移 yst=F/k=F/mω2 .. . β与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关 4.0 3.0 2.0 1.0 0 1.0 2.0 3.0 β θ/ω ξ=0 ξ=0.1 ξ=0.2 ξ=0.3 ξ=0.5 ξ=1.0 几点讨论： ①随ξ增大β曲线渐趋平缓， 特别是在θ/ω=1附近β的 峰值下降的最为显著。 ②当θ接近ω时，β增加的 　 x b 2 1 = 共振时 很快，ξ对β的数值影响 也很大。在0.75θ/ω1.25 (共振区)内，阻尼大大地减 小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反映, 阻尼的影响是不容忽略。在 共振区之外阻尼对β的影响 较小，可按无阻尼计算。 ③βmax并不发生在共振θ/ω=1时， 而发生在， ④由y=yPsin(θt－α) 可见， 只要有阻尼位移总滞后荷载 P=Fsinθt一个 相位角α， 但因ξ很小，可近似地认为： 当θω时,α→0°体系振动得很慢，FI、R较小，动荷主 要由 S平衡，(即P与S反向)，S与y反向，y与P基本上同步； 荷载可作静荷载处理。 当θω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，S、R相对 说来较小，动荷主要由FI 平衡， FI 与y同向，y与P反向； 位移y、弹性力S，惯性力FI， 阻尼力R分别为： .