[理学]西北工大计算方法第一章.ppt

第一章 绪 论 内容提要 §1.1 计算方法的任务与特点 §1.2 误差知识 §1.3 选用算法时应遵循的原则 §1.1计算方法的任务与特点 提出实际问题 辨析其中的主要矛盾和次要矛盾，并在合理假设的条件下，运用各种数学理论、工具和方法，建立起问题中不同量之间的联系 ，即得到数学模型。 建立数学模型 模型的适定性:数学模型解的存在性（模型内部没有蕴含矛盾）、惟一性（模型是完备的)以及对相关数据的连续依赖性统称为模型的适定性. 数值问题举例 是用一阶常微分方程初值问题表示的数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是数值问题 。但当我们要求出有限个点处函数值的近似值时，便成为一数值问题。 设计高效可靠的算法 计算方法的任务之一就是提供求得数值问题近似解的方法—算法。 算法：指把对数学问题的解法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序的完整而准确的描述。 算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收敛性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是数值分析研究的第二个任务。 一个算法在保证可靠的大前提下再评价其优劣才是有价值的。 算法的优劣评价：可靠算法的优劣，应该考虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护）。这是数值分析研究的第三个任务。 鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法： 函数的插值和曲线拟合 数值积分和数值微分 线性方程组求解、非线性方程（组）求解 代数特征值问题 常微分方程数值解法 本课程的学习方法 尽管本课程所讲算法是很有限的，但许多初学者可能仍会觉得公式多，理论分析复杂。在此，我们提出如下的几点学习方法，仅供初学者参考。 1、认识对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应公式多和讲究理论分析的特点。 2、注重各章节所研究算法的提出，搞清楚问题的基本提法、逐步深入的层次及提法的正确性。 3、理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索，而且对一些最基本的算法要非常熟悉。 4、从各种算法的理论分析中学习推理证明方法，提高推理证明能力。 5、认真进行数值计算的训练。 §1.2 误差知识 内容提要： 误差的来源及其分类 误差的度量 误差的传播 一、误差来源及其分类 1)模型误差（描述误差） 反映实际问题有关量之间的计算公式（数学模型）通常是近似的。 3）截断误差（方法误差） 数值方法精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异。 这是由于我们需要将无穷过程截断为有限过程，而使得算法必须在有限步内执行结束而导致的。 4）舍入误差 在实现数值方法的过程中，由于计算机表示 浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分有限 个信息，准确表示某些数，不能准确表示所有实 数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间 计算数据、以及最终输出结果必然产生误差，称 此类误差为舍入误差。 如利用计算机计算e的近似值en时，实际上 得不到en的精确值，只能得到en的近似e*；这样 e*作为e的近似包含有舍入误差和截断误差两部 分： 二、误差的度量 绝对误差 相对误差 有效数字 度量间的关系 1. 绝对误差 绝对误差定义：准确值减近似值 2.相对误差 Remark: 绝对误差限虽然能够刻划对同一真值不同近似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似程度的好坏 。 3.有效数字 为了规定一种近似数的表示法，使得用它表示的近似数自身就直接指示出其误差的大小。为此需要引出有效数字和有效数的概念。 有效数：当x* 准确到末位，即n=p，则称x*为有效数。 举例：x=π, x1*=3.141, x2*=3.142 Remark1: 有效数的误差限是末位数单位的一半，可见有效数本身就体现了误差界。 Remark2: 对真值进行四舍五入得到有效数。 Remark3:准确数字有无穷多位有效数字。 Remark4: 从实验仪器所读的近似数（最后一为是估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确保对最后一位进行四舍五入得到有效数。 例 从最小刻度为厘米的标尺读得的数据123.4cm是为了得到有效数123.cm,读得数据156.7cm是为了得到有效数157.cm。 4.误差度量间的联系 绝对误差与相对误差 定理证明 Remark 1、该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法。 2、仅从 并不能保证x*一定具有n位有效数字。如 设其近似值a=0.484，其相对误差为： 我们并不能由此