可分离变量的微分方程和其应用.ppt

可分离变量的微分方程及其应用 授课内容 知识点回顾 提出问题 引例建模 定义 解法 解决问题 练习 一、知识点回顾 二、提出问题 怎样求解一阶微分方程呢？（难！） 三、引例建模 思路 四、可分离变量微分方程的定义 定义： 若一阶显式或微分形式方程可分别写成 五、可分离变量微分方程的解法 积分法 例 解初值问题 Thank you for your attention ！ 显式： 通解：解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相等，通常形式为： 解初值问题 * * 主讲人 李海燕 数学计算机科学系 常微分方程的形式 通解与特解 常微分方程的定义 什么是可分离变量的微分方程呢？ 初等积分法 分离变量法 常数变易法 恰当因子法 参数法 降阶法 故事梗概 直到20年后，1967年卡内基梅隆大学的科学 家们用微分方程模型解决了真假名画问题。 范. 梅格伦（Van Meegren）“伪造”17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer（维米尔）的名画卖给纳粹分子。 2 原理：著名物理学家卢瑟夫（Rutherford） 指出，物质的放射性（衰变率）正比 于现存物质的原子数 。 1 分析：油画中不可缺少的颜料之一白铅，具有放 射性，其应用已有2000余年，白铅的成分 中包含了少量的镭（Ra226）和少量的放 射性铅（Pb210） 。 我们看下元素衰变示意图 。 3 建立微分方程： 设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t), y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的衰变率为常数r 。则： （1） （2） 则称：(1)和(2)为变量可分离方程。 隐式通解（通积分） 变量分离 以方程（1）为例： 六、解决问题 经验：矿石中铀的最大含量可能 2-3%，若白铅 中铅210每分钟衰变超过3万个原子，则矿 石中含铀量超过4% 。 处理：分析铅210的衰变率，与当时矿物质中放 射性物质含量比较，来判别画的真伪 。 建模： 设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t)，y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的衰变率为常数r 。 则: 衰变率： 其中 ?, y(t), r均容易测出。 6.0 5.2 欢笑的女孩 1.4 1.5 做花边的人 0.17 8.2 弹曼陀林的妇人 0.3 10.3 读乐谱的妇人 0.26 12.6 洗足 0.82 8.5 Emmaus的信徒们 镭226衰变原子数 （每克每分钟） 钋210衰变原子数（每克每分钟） 画名 假设：第一幅画是真品，则 铅210每分钟每克衰变数值不合理，因此为赝品。 同理可判别其 他画的真伪。 结论： 小结： 1.可分离变量的微分方程及其解法 2.可分离变量的微分方程的建模应用 1.解方程: 七、练习 2.古尸年代鉴定问题: 在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安 德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验 室，作C14年代测定，分析表明，与C12的比例 仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活 在多少年前? 微分方程: 含自变量及其导数的方程 常微分方程: 自变量的个数只有一个 偏微分方程: 自变量的个数大于等于两个 back 或 隐式： back 特解：满足初始条件的解，其中初始条件为： back 矿石中元素衰变示意图： 铀238 镭226 铅210 钋210 铅206 T=45亿年 T=1600年 T=22年 T=138天 白铅 back back2 C14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素C14，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度,这意味着在活体中，C14的数量与稳定的C12的数量成定比，生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以 每年八千分之一的速度减少。 back 设t时刻的原子数为 y(t)，则有 为物质的衰变常数。 back