[理学]量子4方势阱、谐振子_503903433.ppt

上次课内容总结 定义了几率流密度 薛定谔方程的求解——分离变量法 3.定态薛定谔方程： 4.定态： 稳定性：几率密度不随时间变化 5.束缚态：若定态对应的 满足无穷远处为零的条件，则 称为束缚态，对一维问题，产生束缚态的条件是 §2.4 一维无限深势阱和方势阱 一维问题的实际背景是平面型固体器件 以及从高维问题约化下来的一维问题。 势阱外，必有： 阱内（势为零） 阱内 显然： （因为 时类似于自由粒子，这里比自由粒子能量高，故E取正） 令 则方程变为 一般解： 连接条件 边界处波函数连续 注意：A、B同时为零时波函数为零，无意义，因此只需要分析以下两种情况 两种情况合起来 合起来可以写为： 有代表性的一些特点 (1)能级是量子化的， 最低但不为零，这个状态称为基态， 称为零点能。 (2)波函数是驻波。 (3)态的宇称是偶奇相间，基态为偶宇称。 (4)波函数的节点数为 特解与通解 特解－定态：以上获得了特解（能量本征态），其完整的波函数为 一般的解（通解）应该是各个可能的特解（能量本征态）的任意线性叠加。 叠加系数 由初始时刻的波函数 给出。 2. 有限深对称方势阱 束缚态： 合起来写 可以把它们在 处衔接起来，但是回忆以前讲过的宇称定理（束缚态必有确定的宇称），我们可以做得更简单些。 在 处让 和 都连续，得： 超越方程图解法求解 讨论: (1)能级的宇称是偶奇相间，最低的能级是偶宇称。 (2)每个能级都比无限深势阱的相应能级低一些。 (3) 不论势阱多浅或多窄，至少存在一个束缚态。 作业 p.52, #2.3; #2.4。 思考题 如何求解三维无限深方势阱（考虑一个粒子被囚禁在一个长方体盒子内，盒内U=0，盒外U=+∞，求能量本征值与本征函数） §2.5 线性谐振子 经典谐振子模型 平衡位置附近的微小振动 量子谐振子的例子 电磁场量子运动（本课程不作深入分析） 微观粒子在平衡位置附近的微小振动可以近似当作谐振子 量子谐振子的定态方程 是谐振子的固有圆频率。 定态薛定谔方程： 无量纲化变换： 观察 方程近似为： H满足的方程 能量本征值 由截断条件 Hermitian多项式的计算公式 举例 前3个 线性谐振子的能级和波函数 我们把线性谐振子的能级和波函数总结如下。 能级： 对应的波函数 讨论： (1)能级是等间隔的， (2)零点能是 (3)能级的宇称偶奇相间，基态是偶宇称， (4) 有n个节点。 小结： 能级 常用关系式 量子-经典对应的讨论 “大量子数的态逼近于经典振子”的问题现在有了新的观点。 存在更像经典振子的“相干态”。 ＊谐振子相干态 相干态定义:将以上基态波函数进行一个空间坐标的平移变换, 如果初始时刻处于相干态（而不是能量本征态），则以后时刻波包不扩散 作业 作业：p.52, #2.5。 级数求解得到的结果是 （有限多项的）多项式 是归一化常数 再次看到束缚态能量的不连续性 x E 波函数 零点能 基态波函数 基态 线性谐振子波函数 线性谐振子位置概率密度 n=11 时的概率密度分布 经典粒子不能出现在E U 区，量子粒子则可以！ （经典力学最远点）临界点 x 0 基态E0 U(x) 临界点 位于“禁区”的概率　 此即相干态波包. 可以证明这一波包随时间不扩散(形状保持不变).,它与经典粒子的运动很相似. * 代入薛定谔方程得到（一系列）特解 由定态薛定谔方程给出 1. 一维无限深势阱 一维无限深势阱的势能函数是： -a a x U 物理上，粒子不能到达U为无穷大的区域 物理上，粒子不能到达U为无穷大的区域，也可以数学证明（见教材附录I（P245）） 阱内 阱外 阱外 边界处波函数应该满足连续性条件 分情况讨论 (偶宇称) 偶宇称（或称正宇称） 奇宇称（或称负宇称） 最后形式 （见后面作业） （注意：波函数一阶导数不连续） n＝1 n＝2 n＝3 n＝4 x 阱外 阱外 波函数连续 波函数连续 （定态） U0 -a a 内 外 (1)偶宇称解 (2)奇偶宇称解 求 E （1）偶 （2）奇 找出这两族曲线的交点