[理学]陈世民理论力学简明教程第二版课后答案.doc

第零章 数学准备 一 泰勒展开式 1 二项式的展开 2 一般函数的展开 特别:时, 3 二元函数的展开(x=y=0处) 评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线 性问题的转化。在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到三阶以内。 二 常微分方程 一阶非齐次常微分方程： 通解： 注：积分时不带任意常数，可为常数。 一个特殊二阶微分方程 通解： 注：为由初始条件决定的常量 二阶非齐次常微分方程 通解：；为对应齐次方程的特解，为非齐次方程的一个特解。 非齐次方程的一个特解 对应齐次方程 设得特征方程。解出特解为，。 *若则，； *若则，； *若则，； 若为二次多项式 *时，可设 *时，可设 注：以上,,A,B,C,D均为常数，由初始条件决定。 三 矢量 1 矢量的标积 注：常用于一矢量在一方向上的投影 矢量的矢积 四 矩阵 此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形。 令 *D=0时，方程组有非零解 *D0时，方程只有零解 第一章 牛顿力学的基本定律 万丈高楼从地起。整个力学大厦的地基将在此筑起，三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴与幽香。此时矢量言语将尽显英雄本色，微积分更是风光占尽。 【要点分析与总结】 1 质点运动的描述 直线坐标系 平面极坐标系 自然坐标系 柱坐标系 〈析〉 上述矢量顺序分别为： 矢量微分： （其它各矢量微分与此方法相同） 微分时一定要注意矢量顺序 2 牛顿定律 惯性定律的矢量表述 直角坐标系中 极挫标系中 自然坐标系中 3 质点运动的基本定理 几个量的定义： 动量 角动量 冲量 力矩 冲量矩 动能 动量定理 方向上动量守恒： 动量矩定理 动能定理 4机戒能守恒定理 T+V=E 〈析〉势函数V: 稳定平衡下的势函数：; 此时势能处极小处 且能量满足 【解题演示】 1 细杆OL绕固定点O以匀角速率转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动，O点与钢丝间的垂直距离为d，如图所示。求小环的速度和加速度。 解：依几何关系知： 又因为： 故： 2 椭圆规尺AB的两端点分别沿相互垂直的直线Oχ与Oy滑动，已知B端以匀速c运动，如图所示。求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度及加速度的大小υ与α。 解：依题知： 且： 得： 又因M点位置： 故有： 代入（*）式得： 即： 一半径为r的圆盘以匀角速率沿一直线滚动，如图所示。求圆盘边上任意一点M的速度和加速度（以O、M点的连线与铅直线间的夹角θ表示）；并证明加速度矢量总是沿圆盘半径指向圆心。 解：设O点坐标为（）。则M点坐标为（） 故： 一半径为r的圆盘以匀角深度ω在一半经为R的固定圆形槽内作无滑动地滚动，如图所示，求圆盘边上M点的深度υ和加速度α（用参量θ，Ψ表示）。 解：依题知： 且O点处： 则： 已知某质点的运动规律为：y=bt,,a和b都是非零常数。（1）写处质点轨道的极坐标方程；（2）用极坐标表示出质点的速度和加速度。 解： 得： 已知一质点运动时，经向和横向的速度分量分别是λr和μθ，这里μ和λ是常数。求出质点的加速度矢量. 解：由题知： 且： 故： 质点作平面运动，其速率保持为常量，证明质点的速度矢量与加速度矢量正交。 证明：设速度为。 则： 由于与为正交矢量。即得证。 8一质点沿心脏线以恒定速率v运动，求出质点的速度和加速度. 解：设 且有： 解得： 得： 则： 9已知质点按 运动，分别求出质点加速度矢量的切向和法向分量，经向分量和横向分量。 解：（1）极坐标系下： 由得： 且设： 则： 得： 则：径向与横向的分量分别为，。 10质点以恒定速率沿一旋轮线运动，旋轮线方程为。证明质点在方向做等加速运动。 解：依题意： 得： 则： 11 一质点沿着抛物线运动，如图所示，其切向加速度的量值是法向加速度值的-2k倍。若此质点从正焦弦的一端点以速率出发，求质点到达正焦弦的另一端点时的速率。 解：建立自然坐标系有： 且： 积分得：（代入