[理学]高数 第十一章 曲线积分与曲面积分.doc

第十一章 曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分 计算公式：无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程 若，则 若，则 注意：上限一定要大于下限 计算下列对弧长的曲线积分 （1），其中为圆周； 解：法一： 法二：， （2），其中为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； 解：，其中 ，， （或 ） 故 （3），其中为抛物线上介于与之间的一段弧； 解：由，得 （4），其中为摆线的一拱； 解： （令） （5），其中为圆周； 解：利用对称性，其中 （6），其中为曲线，，上相应于从0变到2的弧段； 解： （7），其中为空间圆周： . 解：由，得，令 故。故 螺旋形弹簧一圈的方程为： ，设它的线密度为，求： 它关于轴的转动惯量；（2）它的重心坐标. （1） （2） （分子采用分部积分法） = §2 对坐标的曲线积分 无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程 1计算公式：若，（其中分别始点和终点对应的参数），则 若，（其中分别始点和终点对应的参数），则 注意：（1）对定向曲线才能说对坐标的曲线积；定向曲线的参数方程与未定向曲线的参数方程的不同： 定向曲线的参数表示为始点的参数到终点的参数而不管谁大谁小： 未定向曲线的参数方程的参数表示为不等式： （2）①弧长的积分转化为定积分时定积分的上限一定要大于下限 ②对坐标的曲线积分转化为定积分时定积分的上限一定是终点的参数，下限是始点的参数，而不管上限是否一定要大于下限 2：两类曲线积分的关系 定向曲线的切向量及其方向余弦 若 ①当时 切向量为：； 方向余弦为 ②当时 切向量为：； 方向余弦为 类似可以推广到空间曲线。 两类曲线积分的关系 其中为定向曲线切向量的方向余弦 注意：把第二类曲线积分转化为第一类曲线积分其关键是求出切向量。特别要注意始点参数与终点参数大小关系对切向量符号的影响。 把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其中为： （1）从点（0，0）沿抛物线到点（1，1）； 解：，由，故在处切向量为，所以 ， 所以 （2）从点（0，0）沿上半圆周到点（1，1）. 解：，由，故在处切向量为，所以 ，所以 （或） 法二，由， 故切向量为，即 所以 ， ，所以 计算下列对坐标的曲线积分： （1），其中为抛物线上从点（0，0）到（2，4）的一段弧； 解：由，得 （2），其中为圆周及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界曲线弧（按逆时针方向）； 解：， 其中， （注意此方程不是的极坐标方程，故不能说在极坐标系下的范围，事实上极坐标方程为，故在极坐标系下的范围为） 故 （3），为从点（1，0）到点（-1，0）的上半椭圆周； 解：由，得 （4），其中为圆周（按逆时针方向）； 解：由，得 （5），其中为椭圆周：，且从轴正方向看去，取顺时针方向； 解：由 得，故 （注意：易知，所以 （6），其中是曲线：上由0到的一段弧. 解： 3．计算，其中：（1）抛物线上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段； （3）曲线上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧. 解：（1）由，得 （2）由，得 （3）由，得 4．证明： 其中为平面上光滑曲线的长度. （提示：转化为对弧长的曲线积分） 证明： 其中是切向量的方向余弦，故满足。 法二：证明： 其中是切向量的方向余弦，故满足。 设向量，则 ， 故 §3 Green公式 用曲线积分计算下列曲线所围平面图形的面积： （1）椭圆：； 解：若：，则 （2）星形线：，. 解：若：，则 2．用格林公式计算下列曲线积分 （1），其中为圆周，取逆时针方向； （2），其中为闭区域的正向边界. 解：（1）， 又逆时针方向，设，所以 （注意，为什么？） （2） 所以 （其中 所以） 3．计算积分，其中为圆周（按逆时针方向）； 解 （1）故当时，在所围的区域内有连续偏导，满足格林公式条件。 （2）故当时，所围的区域含有点，故在区域有点没有连续偏导，不满足格林公式条件。不能直接用格林公式条件。 做曲线（取得足够小保证含在所围区域）方向为逆时针，即。 则曲线围成复连通区域且为的正向边界。 故在复连通区域满足格林公式条件，故 即 （注之所以取曲线是方便计算，若取则计算麻烦） 4．证明下列曲线积分在面上与路径无关，并计算积分. （1） 解：，所以单连通区域面有连续偏导，且 ，所以曲线积分在面上与路径无关。 法一： 其中 法二设： 则得0 ，故 （2） 解：，所以单连通区域面有连续偏导，且 ，所以曲线积分在面上与路径无关。 法一： 其中 法二设： ，得0，所以 ， 故= 5．用适当的方法计算下列曲线积分 （1），其中为圆周上从点依逆时针方向到点的弧段； 解：由 ，有 其中， （2），其中为从点到点的直线段. 解：由