[理学]高数02-03_04.ppt

* * 第三节 高阶导数 若f (x)的导数f (x)仍然是可导函数，则导数y=f (x)的导数 叫做函数f (x)的二阶导数，记作 或 即 或 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数； 分别记作: 或 或 或 三阶导数的导 数，叫做四阶导数； (n-1) 阶导数的导数，叫做n阶导数. ……， y = f (x)具有n 阶导数，也说函数y = f (x)为n 阶可导。 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 例如，设作变速直线运动的物体的运动路程为 则其速度为: 或 加速度速度为: 或 例1 解 问题： ⑵ 若 注 n次多项式的n+1阶导数为零。 例2 证 例3 解 求正弦函数 的n阶导数. 更一般地, 例4 解 类似地，由于 即 即 规定0!=1，此式当n=1 时也成立. 例5 解 即 解 例6 求幂函数 的n 阶导数公式. 即 关于两个函数乘积的n 阶导数,有莱布尼兹(Leibniz)公式 即 展开式来记忆 可按二项式定理的 其中， 解 例7 代入莱布尼兹公式，得 设 则 解 例8 第四节 隐函数的导数 由参数方程所确 定的函数的导数 相关变化率 把一个隐函数化为显函数的过程称为隐函数的显化. 计算隐函数的导数有两种方法： 一、隐函数的导数 一般地,把用y =f(x)的方式表达的函数称为显函数， ① 先显化隐函数，再求导数； ② 直接求隐函数的导数。 以下举例说明求隐函数导数的直接法。 程F(x, y)=0的方式表达的函数称为隐函数. 而把用方 例1 方程两边分别对x求导数, 并且注意y是x的函数. 得 解 例2 求由方程 方程两边分别对x求导，得 解 由原方程知, x = 0时, 例3 解 代入上式，得 例4 解 得所求切线的斜率为 椭圆方程两边分别对 x 求导得 求椭圆 例5 解 于是, 所求切线方程为 所给方程两边对x求导，得 两边再分别对 x 求导，得 求由 例6 解 例7 形如这样的函数称为幂指函数。 两边分别对 x 求导, 注意 y 是 x 的函数，得 两边取对数 ，得 二、对数求导法： 先在y = f (x)的两边取对数, 求导后再求出y的导数. 解 幂指函数的一般形式为： 如果 u, v 都可导, 则 y 的导数求法如下: 再两边对x求导, 注意到 y 是 x 的函数, 得 两边取对数，得 (1)也可表示为： 直接得 解 原式两边取对数： 上式两边再取对数： 对上式两边求导数： 例8 已知： 例9 两边取对数 (设 x 4)，得 上式两边分别对 x 求导, 注意 y 是 x 的函数, 得 用同样的方法可得与上面相同的结果。 当 解 说明: 例10 求 的导数. 两边取对数，得 解 上式两边分别对 x 求导, 注意 y 是 x 的函数, 得 三. 由参数方程所确定的函数的导数 则根据复合函数的求导法则与反函数的导数公式, 有 其中 都可导, 且 所唯一确定的函数 即 上式称为由参数方程所确定的 x 的函数的导数公式. 所唯一确定的函数 ⑴ 求 ⑵ 求二阶导数： 解 例 已知