[理学]高数同济§35函数的极值与最大值最小值.ppt

* §3.5函数的极值与最大值最小值 函数极值的定义 函数极值的求法 最值的求法 应用举例 一、函数极值的定义 定义 使函数取得极值的点称为极值点. 极 值 二、函数极值的求法 定理1(必要条件) 定义 注意: 例如, 极值点 驻点 可导 定理2(第一充分条件) (是极值点情形) 定理2(第一充分条件) (不是极值点情形) 求极值的步骤: (不是极值点情形) (是极值点情形) 例1 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求可能的极值点 令 得 令 得 3) 列表判别 是极大点， 其极大值为 是极小点， 其极小值为 例2 解 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. (不是极值点——弯曲方向改变) (是极值点——曲线弯曲方向不变) 定理3(第二充分条件) 定理3(第二充分条件) 证 同理可证(2). 由极限的局部保号性 例3 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令 得驻点 3) 判别 因 故 为极小值 ; 又 故需用第一判别法判别. P156-2 定理3(第二充分条件) 三、最值的求法 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值. 注意: 如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) 四、应用举例 例4 解 计算 比较得 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; ( k∈R) 例5. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货 D 点应如何选取? 20 解: 设 则 令 得 又 所以 为唯一的 极小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 . 总运费 物从B 运到工厂C 的运费最省, 从而为最小点 , 问 km , 公路, 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？ 例6 解 设房租为每月 元， 租出去的房子有 套， 每月总收入为 （目标函数） 未租出房子为 套， P161-15 （唯一驻点） 故每月每套租金为350元时收入最高. 最大收入为 点击图片任意处播放\暂停 例6 解 如图, 解得 五、小 结 极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 2.驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点取得. 3.判别法 第一充分条件; 第二充分条件; (注意使用条件) 1.注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 4. 实际问题求最值的步骤. 作业: P162:1-(1)(7)、3、4-（2）、6、9、13、 思考题1 下命题正确吗？ 思考题1解答 不正确． 例 CH 3.5 函数的极值 高等数学（同济六）