[理学]高数第一学期总复习.ppt

习题课 一、主要内容 （五）不定积分的计算 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值. 定理 4 ( 介值定理 ) 设函数 ) ( x f 在闭区间 [ ] b a , 上 连续，且在这区间的端点取不同的函数值 A a f = ) ( 及 B b f = ) ( , 那末，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C ，在开区间 ( ) b a , 内至少有一点 x ，使得 c f = x ) ( ) ( b a x . 2. 1. 3. 典型例题 6. 4. 5. 典型例题解答 1. 解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则 解 解法讨论 2. 解 3. 4. 解 * 一、主要内容 二、典型例题 第一学期总复习 （一）数列极限及函数极限的计算 （二）连续与间断点类型的判断 （三）导数与微分的计算 （四）导数与微分的应用 （五）不定积分的计算 （六）定积分及其应用 （七）广义积分（反常积分） 左右极限 两个重要 极限 求极限的常用方法 无穷小 的性质 极限存在的 充要条件 判定极限 存在的准则 无穷小的比较 极限的性质 数列极限 函 数 极 限 等价无穷小 及其性质 唯一性 无穷小 两者的 关系 无穷大 （一）数列极限及函数极限的计算 左右连续 在区间[a,b] 上连续 连续函数 的 性 质 初等函数 的连续性 间断点定义 连 续 定 义 连续的 充要条件 连续函数的 运算性质 非初等函数 的连续性 振荡间断点 无穷间断点 跳跃间断点 可去间断点 第一类 第二类 （二）连续与间断点类型的判断 求导法则（四则运算、反函数、复合、隐函数、参数方程） 基本公式 导 数 微 分 关 系 高阶导数 （三）导数与微分的计算 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 最值的经济应用 导数的应用 （四）导数与微分的应用 积分法 原 函 数 选 择 u 有 效 方 法 基 本 积 分 表 第一换元法 第二换元法 直接 积分法 分部 积分法 不 定 积 分 几种特殊类型 函数的积分 问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 广义积分 定积分 定积分 的性质 定积分的 计算法 牛顿-莱布尼茨公式 （六）定积分及其应用 微 元 法 理 论 依 据 名称释译 所求量 的特点 解 题 步 骤 定积分应用（面积、体积、弧长、经济应用等） （六）定积分的应用 （七）广义积分（反常积分） 1. 2. 3. 1. 极限的定义 左极限 右极限 单侧极限情形: 无穷小: 极限为零的变量称为无穷小. 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大: 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 无穷小与无穷大的关系 2. 无穷小与无穷大 定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 无穷小的运算性质 定理 推论1 推论2 3. 极限的性质 4. 求极限的常用方法 a. 多项式与分式函数代入法; b. 消去零因子法, 有理化; c. 利用极限运算法则; d. 无穷小因子分出法; e. 利用无穷小的性质及无穷小与无穷大的关系; f. 利用左、右极限求分段函数极限; g. 等价无穷小替换法; h. 利用两个重要极限; 利用极限存在准则； 利用洛必达法则； 利用中值定理及定积分定义 等等 5. 判定极限存在的准则 (夹逼准则) (1) (2) 6. 两个重要极限 定义: 7. 无穷小的比较 定理(等价无穷小替换定理) 8. 等价无穷小的性质 9. 极限的唯一性 1. 连续的定义 定义1 定理 3. 连续的充要条件 2. 单侧连续 4. 间断点的定义 (1) 跳跃间断点 (2)可去间断点 5. 间断点的分类 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点: 可去型 第一类间断点 跳跃型 0 y x 0 y x 0 y x 无穷型 振荡型 第二类间断点 0 y x 第二类间断点 6. 闭区间的连续性 7. 连续性的运算性质 定理 定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 定理2 8. 初等函数的连续性 定理3 定理4 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理5 一切初等函