[理学]高数第八章第1节.ppt

高等数学 （下） 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 一、平面点集 n维空间 二、多元函数概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 确定极限不存在的方法： (1) 令 P(x, y) 沿 y = k x 趋向于 若极限值与 k 有关，则可断言极限不存在； (2) 找两种不同趋近方式，使 存在，但两者不相等，此时也可断言 在点 处极限不存在． 例7 讨论函数 在(0,0)处的连续性． 解 取 故函数在(0,0)处连续. 例9 讨论函数 在(0,0)的连续性． 解 取 其值随k的不同而变化，极限不存在． 故函数在(0,0)处不连续． 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 关于多元函数,有与一元函数类似的结论: 多元连续函数的和,差,积,商(分母不为零)都是连续函数.多元连续函数的复合函数也是连续函数. 有界闭区域上连续函数的性质 性质１(有界性与最大值最小值定理)若多元函数 f 在有界闭区域D上连续,则它在D上必有最大值和最小值． 性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,必取得介于最大值和最小值之间的任何值. 推论 若多元函数 f 在有界闭区域D上连续,则它在D上有界. * 1.多元函数的基本概念 2.偏导数 3.全微分及其应用 4.多元复合函数的求导法则 5.隐函数的求导公式 6.微分法在几何上应用 7.方向导数与梯度 8.多元函数的极值及其求法 区域 多元函数的基本概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集.记作 （1）邻域 设 是 平面上的一个点, 是某一正数, 距离小于 的点 的全体,称为 与点 的 邻域，记为 点 注:在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域可以互相包含. 。 平面上的方邻域为 （2）区域 例如， 即为开集． 连通的开集称为区域或开区域． 例如， 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 例如， 是有界闭区域； 是无界开区域． 例如， 是无界闭区域． 特殊地当 n =1, 2, 3 时，便为解析几何中数轴、平面、空间两点间的距离. 内点、外点、边界点、聚点，开集、闭集、区域等概念也可定义． 引例: ? 圆柱体的体积 ? 定量理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 1.二元函数的定义 类似地可定义三元及三元以上函数． 当 时， 元函数统称为多元函数. 例1 求 的定义域． 解 所求定义域为 （如下图） 设函数z = f (x, y)的定义域为D, 对于任意取定的 , 对应的函数值为z = f (x, y). 这样,以 x 为横坐标、y为纵坐标、z 为竖坐标在空间就确定一点 当(x, y)取遍D上一切点时,得一个空间点集 这个点集称为二元函数 z = f (x, y)的图形. 二元函数的图形通常是一张曲面. 例如, 图形如右图. 例如, 右图球面. 单值分支: 则二元函数的极限可写作： 注: （1）定义中 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 （3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． 例2 求证 证 例3 求极限 解 其中 若当点 函数趋于不同值或有的极限不存在， 解 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点(0, 0) , 在点(0, 0)的极限. 则可以断定函数 则有 k 值不同极限不同! 在(0, 0)点极限不存在. 以不同方式趋于 极限不存在. 例5 讨论函数 证 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在．