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第十二章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 1.将下列方程与其名称用线连接起来 （１）　　　　　　　　　　　 　（ａ）１阶微分方程 （２）　　　　　　　　　　　　　　（ｂ）２阶微分方程 （３）　　　　　　　 （ｃ）代数方程 （４）　　　　　　　　　　　　　　 （ｄ）偏微分方程 （５）　　　　　　　　　　　（ｅ）３阶微分方程 ２.设微分方程为 （１）验证（为任意常数）是方程的通解； （２）由通解求满足初始条件的特解； （３）说明上述通解和特解的几何意义． 解　（１）因为，所以，故是微分方程的解．又因为含有一个任意常数，故是方程的通解． 　　　（２）将代入中，得，所求特解为． 　　　（３）通解是满足方程（１）的一簇曲线，特解是满足初始条件的一条曲线． 注意　易犯的错误是 　在（１）中只验证了是方程的解，而没有强调此解中包含一个任意常数.产生错误的原因是对通解的定义理解不清楚．一般的，阶微分方程的通解中应包含个相互独立的任意常数． ３.设一阶微分方程的通解为，其中为任意常数，求此微分方程． 解　将方程两边对求导得，即，将其代入得 　　　　　　　　　即　　. 注意　易犯错误是 　　　　　　. 产生错误的原因，一是丢失了函数，二是微分方程中没有消去常数． 第二节 可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程 １.求下列微分方程的通解． （１） 解　将方程分离变量得 两边积分得：． 故所求通解为　　　　或　． （２） 解　令，则 　　　　　　　　　　　　　　 故　．即　．解得　．所求通解： ． （３） 解　分离变量得 ， 两边积分得：，故所求通解为　． （４） 解　分离变量得 积分得　，即所求通解为　. ２.求下列微分方程满足所给初始条件的特解． （１）　，　 解　分离变量得　，两边积分得　 通解为　，将代入得：．故所求特解为　． （２） 解　分离变量再积分，因为时，，所以.则为所求特解． （３） 解　分离变量得　，两边积分得　 通解为将代入得，所求特解为 ，． （４） 解　分离变量得　　，两边积分得 　　　　　　　　　　　　　即　　 将代入得　，所求特解为 　　　　　　　　　　　　　． ３.已知曲线过点，且其上任意一点处的切线斜率为，求曲线方程． 解　由题意得 故　．又过点，故，即所求曲线方程为 　　　　　　　　　　　　． ４.若以曲线为曲边，以为底的曲边梯形的面积与纵坐标的次幂成正比，且已知，求此曲线的方程． 解　曲线所满足的积分方程是 　　　　　　　　　　　　　　 将积分方程两边分别对求导，得曲线所满足的微分方程为 ，即　， 两边积分得　　． 将代入上式，解得， 所求曲线方程为　． 注意　易犯错误是 .产生错误的原因是把函数看作与无关的量，由 ． 实际上，函数是的函数，由于还没有求出其具体表达式，不能直接积分． ５.求下列微分方程的通解． （１） 解　（１）方程变形为　，由公式法 （２）（为常数） 解　 　　　． （３） 解　方程变形为，由公式法 （４） 解　分离变量得　 两边积分得　 即 ． ６.求下列微分方程满足所给初始条件的特解． （１） 解　， 代入，得，所求特解为　　 ．（２） 解　， 将代入，得　，所求特解为 　　　　　　　　　　． （３） 解　法１　方程变形为，由公式 即代入得，所求特解为 　　　　　　　　　． 解 法２ ，设，， 代入方程得分离变量得　，积分得　． 将代入得，所求特解为 ． （４） 解　方程两端对求导得 　　　，即　，由公式得　 　　　　　　　　　　　 由方程得初值条件，代入得. 所求特解为　． ７.设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解． 解 把代入方程得，故方程可化为 　　　　　　　　　　　　　　　　　 故 由得　，故所求特解为 ． 8.已知在全平面上与路径无关，其中具有一阶连续导数，并且L是起点为终点为的有向曲线时，该曲线积分值等于，试求函数． 解　由于积分与路径无关，则，即 　　　　　　　　， 所以　　 　　　　　　 由，得　　 所以，则． 第三节 可利用变量代换法求解的一阶微分方程 １.求下列齐次方程的通解． （１） 解　，令，则，分离变量得 积分得　 所以　 ． 所求通解为　 ． （２） 解　，令，代入方程得 ， 分离变量得，积分得：，所以　，将代入得所求通解为 ． （3） 解 令，则方程变为： 故