[理学]高数课件 124.ppt

第三节 一、曲面方程的概念 定义1. 例1. 求动点到定点 例2. 研究方程 二、旋转曲面 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 四、二次曲面 1. 椭球面 2. 抛物面 3. 双曲面 (2) 双叶双曲面 4. 椭圆锥面 内容小结 2. 二次曲面 思考与练习 三、柱面 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解:在 xoy 面上， 表示圆C, 沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 过此点作 柱面. 对任意 z , 平行 z 轴的直线 l , 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程, 定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. ? 表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面. ? z 轴的平面. ? 表示母线平行于 (且 z 轴在平面上) 表示母线平行于 C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间 柱面, 柱面, 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 母线 柱面, 准线 xoy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线 x z y 0 母线 F( x,y )=0 z = 0 准线 (不含z) M (x,y,z) N (x, y, 0) S 曲面S上每一点都满足方程； 曲面S外的每一点都不满足方程 F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面 点N满足方程，故点M满足方程 一般柱面 F(x,y)=0 母线 准线 (不含x) F( y, z )=0 x = 0 x z y 0 F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面 一般柱面 F(y, z)=0 a b z x y o 椭圆柱面 z x y = 0 y o 双曲柱面 z x y o 抛物柱面 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 ) (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆 与 的交线为椭圆： (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 同样 的截痕 及 也为椭圆. 当a＝b＝c 时为球面. (3) 截痕: 为正数) 截痕法 用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面 a b c y x z o 椭球面 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. ( p , q 同号) x z y 0 截痕法 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面 椭圆抛物面 x z y 0 截痕法 用z = a截曲面 用y = b截曲面 用x = c截曲面 椭圆抛物面 . 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 x z y 0 截痕法 双曲抛物面 （马鞍面） 截痕法 x z y 0 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 双曲抛物面 （马鞍面） 截痕法 . x z y 0 用z = a截曲面 用y = 0截曲面 用x = b截曲面 双曲抛物面 （马鞍面） (1)单叶双曲面 椭圆. 时, 截痕为 (实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴） 平面 上的截痕情况: 双曲线: 虚轴平行于x 轴） 时, 截痕为 时, 截痕为 (实轴平行于z 轴; 相交直线: 双曲线: 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. ① (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到) 1. 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如, 曲线 绕 z 轴的旋转曲面: 柱面 如,曲面 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . * * 四、二次曲面 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 曲面及其方程 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 化简得 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 解:设轨迹上的动点为 轨迹方程. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1)